UFRJ, P4-2019.2
Sabe-se que é uma matriz diagonalizável e que seus autovalores são apenas e . A única opção que PODE SER correta é:
Passo 1
Show de bolinhas galerinha, pra gente ter certeza que uma matriz é diagonalizável, precisamos garantir que ela tenha uma base de autovetores para . O enunciado nos deu que a matriz é e possui os autovalores e. Cada autovetor, garante a existência de pelo menos autovetor (podendo ter mais de ). Então sabemos que pelo menos autovetores nós já possuímos.
Mas como estamos em precisamos de autovetores para ter certeza que a matriz é diagonalizável. Então a informação que nos garantir a existência desses autovetores, será a resposta certa.
Passo 2
Para encontrar a dimensão do autoespaço associado a um autovalor de , fazemos:
Ou seja, dimensão do núcleo da matriz é igual a dimensão do autoespaço associado .
Na letra (a), ele diz que que , só que isso não interfere em nada nas relações com os autovetores, então não podemos garantir nada com essa informação. Logo a letra (c) também é falsa.
Passo 3
Já na letra (b), ele diz que , ou seja, a dimensão do autoespaço associado ao autovalor , é igual a . Logo, o autovalor possui autovetores associados a ele, e somados com os dois autovetores associados a e , completamos os cincos autovetores necessários para diagonalizar a matriz .
Passo 4
Já na letra (d), ele diz que . Isso quer dizer que a dimensão do autoespaço associado ao autovalor , agora é igual a , ou seja, o autovalor possui autovetores associados. Mas e agente somar com os outros dois autovetores associados a e , ficaríamos com autovetores, o que é impossível, já que estamos em (um espaço de dimensão ). Por isso a letra (c) está errada. Resposta certa, letra (b).
Resposta
Letra (b)