Considere as seguintes transformações lineares de no : , uma projeção ortogonal sobre um plano, e , uma reflexão através de um plano. Qual das transformações abaixo possui entre seus autovalores?

Show de bolinhas meus amores, primeiro vamos entender o que cada transformação tá fazendo. Saca só, ele diz que é uma projeção ortogonal sobre um plano. Vamos supor que esse plano seja , dado por:

Onde e são os vetores que geram o plano, só que esses vetores que pertencem ao plano, quando submetidos a projeção, permanecerão no mesmo lugar, tal que:

Isso quer dizer que e serão autovetores de associados ao autovalor . Iradoso, e como estamos em e esse plano possui apenas duas dimensões, teremos um complemento ortogonal desse plano, para completar as dimensões de , vamos chamar ele de :

E como estamos falando de uma projeção ortogonal, quer dizer que quando aplicada a transformação sobre um vetor ortogonal ao plano, o resultado é nulo:

Portanto é o outro autovetor de só que dessa vez associado ao autovalor . Então descobrimos que nossa matriz possui dois autovalores e , onde se repete duas vezes.

Já a reflexão ortogonal através de um plano, faz quase a mesma coisa que a projeção, só que dessa vez o vetor ortogonal ao invés de ser levado no , é refletido. Tal que:

Fazendo com que a matriz reflexão possua os autovalores e .