UFRJ, P4-2019.2
Considere as afirmativas:
- Se possui autovalores distintos então é diagonalizável.
- Se é diagonalizável então possui autovalores distintos.
- (I) é falsa e (II) é verdadeira.
- (I) é falsa e (II) é falsa.
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
Passo 1
Show de bola galerinha bonita, pra gente ter certeza que uma transformação é diagonalizável, precisamos garantir que existe uma base de autovetores para . Sabendo disso, na afirmativa (I), ele diz que se possui autovalores distintos então é diagonalizável.
Bom galerinha, cada autovalor da transformação garante a existência de pelo menos autovetor associado a ele. Logo se temos autovalores, vamos possuir pelo menos autovetores, e como estamos em quer dizer que possuímos exatamente autovetores, o que garante que é diagonalizável. Afirmativa verdadeira.
Passo 2
Já na afirmativa (II), ele diz que se é diagonalizável então possui autovalores distintos. MAAASS, autovetores distintos não necessariamente quer dizer autovalores distintos, porque por exemplo podemos ter um autovalor com autovetores associados ele, e outro autovalor com autovetores associados que ainda assim teríamos os autovetores necessários para diagonalizar a matriz, mas só teríamos autovalores distintos. Logo a afirmativa (II) é falsa. Resposta certa, letra (d).
Resposta
Letra (d)