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Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

UFRJ, P4-2019.2

Seja A = u 1 v 1 u 2 v 2 tal que det ⁡ A = 1 , Calcule det ⁡ 3 u 1 - 2 v 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) ( 3 u 2 - 2 v 2 )   ( 3 u 1 + 2 v 2 )

  1. 13 .
  2. 16 .
  3. 12 .
  4. 15 .

Passo 1

Belejóia galerinha bonita, o enunciado deu pra gente que det ⁡ A = 1 :

det ⁡ u 1 v 1 u 2 v 2 = 1

E pediu pra gente encontrar det ⁡ 3 u 1 - 2 v 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) ( 3 u 2 - 2 v 2 )   ( 3 u 1 + 2 v 2 ) rsrs!

Mas calma lá meu patrão, porque dependendo das alterações que a gente fizer na matriz, também podemos alterar nosso determinante. Saca só, primeiro a gente pode somar as duas colunas, desse jeito:

det ⁡ 3 u 1 - 2 v 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) ( 3 u 2 - 2 v 2 )   ( 3 u 1 + 2 v 2 ) ⇒ det ⁡ 6 u 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) 6 u 2   ( 3 u 1 + 2 v 2 )

E a malandragem aqui, é que agora toda aquela primeira coluna está sendo multiplicada por 6 de tal forma que a gente pode colocar ele pra fora do determinante:

det ⁡ 6 u 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) 6 u 2   ( 3 u 1 + 2 v 2 ) = 6 det ⁡ u 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) u 2   ( 3 u 1 + 2 v 2 )

Logo:

det ⁡ 3 u 1 - 2 v 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) ( 3 u 2 - 2 v 2 )   ( 3 u 1 + 2 v 2 ) = 6 det ⁡ u 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) u 2   ( 3 u 1 + 2 v 2 )

Passo 2

Belezoca, já arrumamos a primeira coluna, agora na segunda, podemos primeiro tirar os termos u * que estão nela. Vamos fazer a coluna 1 menos três vezes a coluna 2 desse jeito:

6 det ⁡ u 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) u 2   ( 3 u 1 + 2 v 2 ) ⇒ C o l u n a 2 = C o l u n a 2 - 3 C o l u n a 1 = 6 det ⁡ u 1 2 v 1 u 2   2 v 2

Então agora a gente pode colocar aquele 2 que está multiplicando a coluna 2, pra fora do determinante:

6 det ⁡ u 1 2 v 1 u 2   2 v 2 = 6 ( 2 ) det ⁡ u 1 v 1 u 2   v 2

6 det ⁡ u 1 2 v 1 u 2   2 v 2 = 12 det ⁡ u 1 v 1 u 2   v 2

Portanto, nosso determinante inicial vai ser dado como:

det ⁡ 3 u 1 - 2 v 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) ( 3 u 2 - 2 v 2 )   ( 3 u 1 + 2 v 2 ) = 12 det ⁡ u 1 v 1 u 2   v 2

E como vimos que det ⁡ u 1 v 1 u 2   v 2 = det ⁡ A = 1 , temos que:

det ⁡ 3 u 1 - 2 v 1 3 u 1 + 2 v 1 ( 3 u 2 - 2 v 2 )   3 u 1 + 2 v 2 = 12 1

det ⁡ 3 u 1 - 2 v 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) ( 3 u 2 - 2 v 2 )   ( 3 u 1 + 2 v 2 ) = 12

Resposta certa, letra (c).

Resposta

Letra (c).

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