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Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

UFRJ, P4-2019.2

Sejam C e A matrizes quadradas.

Considere as afirmativas:

  1. C C T é simétrica.
  2. Se C e A são simétricas então C A é simétrica.
  1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  2. (I) é falsa e (II) é falsa.
  3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, na afirmativa (I) ele diz que C C T é uma matriz simétrica. Então bora testar isso aí, seja:

C n × n = ← v → 1 → ← v → 2 →   ⋯   ← v → n →

Logo, a transposta será:

C n × n T = ↑ ↑   ↑ v → 1 v → 2 ⋮ v → 3 ↓ ↓   ↓

E o produto C C T vai ser:

C C T = ← v → 1 → ← v → 2 →   ⋯   ← v → n → ↑ ↑   ↑ v → 1 v → 2 ⋮ v → n ↓ ↓   ↓

E realizando esse produto matriz-matriz, linha por coluna, temos que:

C C T = v → 1 . v → 1 v → 1 . v → 2 ⋯ v → 1 . v → n v → 2 . v → 1 v → 2 . v → 2 ⋯ v → 2 . v → n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ v → n . v → 1 v → n . v → 2 ⋯ v → n . v → n

MAAASS, podemos fazer a seguinte malandragem:

v → 1 . v → n = v → n . v → 1 = a

  v → 2 . v → n = v → n . v → 2 = b

v → 2 v → 1 = v → 1 . v → 2 = c

Tal que:

C C T = v → 1 . v → 1 c ⋯ a c v → 2 . v → 2 ⋯ b ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a b ⋯ v → n . v → n

Portanto sempre que temos o produto entre matrizes C C T , a matriz é resultante é simétrica! Afirmativa verdadeira.

Passo 2

Já na afirmativa (II), ele diz que A e C são simétricas então C A é simétrica. Mas aqui a gene pode ser extremamente sagaz, porque se a gente pegar por exemplo as matrizes:

C = 1 1 1 2 ,     A = 2 3 3 1

Elas são simétricas, mas se a gente fizer C A : vamos obter:

C A = 1 1 1 2 2 3 3 1

C A = 5 4 8 5

Que NÃO É SIMÉTRICA! Logo nossa afirmativa (II) é falsa. Resposta certa, letra

Resposta

Letra (c)

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