Listas de Derivadas de Cálculo 1 da UFSC - Lista 2.5 - Derivada como uma Função
Cálculo 1 - UFSC
2. Determine o que se pede.
f. Use o item anterior para encontrar uma equação para a reta que é tangente ao gráfico da função no ponto da abscissa .
Ver solução completa- Utilize a definição de derivada para encontrar a derivada de .
Observação: Quando se pede uma derivada sem mencionar o ponto, subentende-se que o exercício está pedindo a derivada como função, isto é, .
Ver solução completaSejam uma função quadrática e a reta tangente ao gráfico de no ponto . Sabendo que e se intersectam o eixo nos pontos e respectivamente, determine
Ver solução completaSeja um número real fixado e considere a função constante . Aplique a definição de limite e verifique que .
Ver solução completaSeja um número real fixado e considere a função . a tabela nos diz que . Nesse exercício vamos deduzir esta fórmula apenas no caso em que é um número natural positivo.
- Verifique que os produtos abaixo são verdadeiros
- Verifique que na expressão há parcelas na soma
- Considere e, usando o item (a), mostre que
- Mostre que
Sempre que for diferente de
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
No primeiro item ela pede para mostrarmos uma série de produtos, então precisamos, um a um, ir calculando e vendo a equivalência, beleza?
No segundo item o problema pede para verificar que há parcelas: aqui também precisamos analisar a expressão e ver a equivalência
E nos dois últimos itens? Vamos usar os resultados de (a) e (b) e aí mostrar a primeira das fórmulas de derivada que conhecemos
Calma! A questão é um pouco longa e complicada, mas estou aqui!
Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Letra (a): nesse primeiro item vamos mostrar os seguintes produtos
O primeiro e o segundo são bem conhecidos (basta aplicar a propriedade distributiva):
Beleza? Agora vamos mostrar o terceiro:
É só cortar os termos semelhantes! Esse também é conhecido como diferença entre cubos
Tranquilo?
Agora o quarto produto:
E novamente simplificando temos
Você percebeu um padrão?
Os termos ‘mistos’ vão sempre se cancelando! Ficamos apenas com os extremos (com 1 unidade a mais no expoente)!
Aí então vem a nossa generalização! Se tivermos um produto assim
O resultado vai ficar apenas com os termos extremos, com uma unidade a mais no expoente
Beleza? Primeiro ponto concluído com sucesso!
Ver solução completaNeste exercício vamos mostrar que se , então
- Mostre que
- Mostre que
Sugestão: utilize que
Neste exercício vamos mostrar que se , então
- Mostre que
- Mostre que
Sugestão: utilize que