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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

  1. Utilize a definição de derivada para encontrar a derivada de f x = 2 x 2 + e x .

Observação: Quando se pede uma derivada sem mencionar o ponto, subentende-se que o exercício está pedindo a derivada como função, isto é, f ' x .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular uma derivada usando a sua definição.

Para quem não lembra, temos que fazer o seguinte calculo:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Agora vamos aplicar!

Passo 2

O enunciado nos forneceu a função

f x = 2 x 2 + e x

Aplicando a definição de derivada, ficamos com

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 2 x + Δ x 2 + e x + Δ x - 2 x 2 + e x Δ x

Ajeitando a função ficamos com,

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ 2 x 2 + 4 x Δ x + 2 Δ x 2 + e x + Δ x - 2 x 2 - e x Δ x

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ + 4 x Δ x + 2 Δ x 2 + e x + Δ x + e x Δ x

Colocando Δ x em evidencia, ficamos com

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ Δ x 4 x + Δ x + e x + Δ x - e x Δ x

Para resolver com mais facilidade, agora vamos separar esse limite em dois:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ Δ x 4 x + Δ x Δ x + lim Δ x → 0 ⁡ e x + Δ x - e x Δ x

Passo 3

Resolvendo o primeiro limite, ficamos com

lim Δ x → 0 ⁡ Δ x 4 x + Δ x Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ 4 x + Δ x = 4 x

Passo 4

Agora vamos para o segundo limite,

lim Δ x → 0 ⁡ e x + Δ x - e x Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ e x e Δ x + e x Δ x

Colocando e x em evidência

lim Δ x → 0 ⁡ e x + Δ x - e x Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ e x e Δ x - 1 Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ e x . lim Δ x → 0 ⁡ ( e Δ x - 1 ) Δ x

Pelo limite fundamental exponencial, temos que

lim Δ x → 0 ⁡ ( e Δ x - 1 ) Δ x = 1

Logo,

lim Δ x → 0 ⁡ e x ( e Δ x - 1 ) Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ e x

Agora vamos juntar tudo!

Passo 5

Tinhamos,

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ Δ x 4 x + Δ x Δ x + lim Δ x → 0 ⁡ e x + Δ x - e x Δ x

Substituindo os limites encontrados,

f ' x = 4 x + e x

Prontinho!

Resposta

f ' x = 4 x + e x

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