4. Sabe-se que a reta é tangente ao gráfico da função . Determine .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função e a equação da sua reta tangente. E o problema nos pediu para achar um dos termos da nossa função.
Para responder essa pergunta, temos que lembrar primeiro como é a cara da equação da reta tangente:
Onde, e são as coordenadas do ponto que a reta tangente passa e é a derivada no ponto.
Então vamos começar achando essa derivada!
Passo 2
Derivando a nossa , vamos usar a regra do polinômio, que diz:
Com isso, a nossa derivada fica assim:
Substituindo o nosso ficamos com
Além da nossa derivada, precisamos achar o nosso . E fazemos isso, substituindo na função:
Agora podemos substituir tudo na equação da reta tangente!
Passo 3
Substituindo tudo, ficamos com
Ajeitando,
Isolando
Agora podemos comparar essa equação com a equação nos fornecidada!
Passo 4
O enunciado nos forneceu a seguinte equação da reta tangente,
Comparando com a nossa equação da reta tangente, podemos igualar os coeficientes angulares e lineares.
Com isso, teremos:
E
Repara que a equação que tem (que é o termo que queremos achar) também depende de . Então vamos primeiro achar quem é .
Passo 5
Pelo equação,
Podemos achar
Resolvendo a equação do segundo grau ficamos com
Agora podemos encontrar .
Passo 6
Tinhamos que
Substituindo na equação, ficamos com