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Exercícios Resolvidos de Propriedades de Derivadas

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Enunciado

UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.5 – Questão C5

Neste exercício vamos mostrar que se f x = cos ⁡ x , então f ' x = - s e n   x

  1. Mostre que

    2. f x + h - f ( x ) h = - 2 sen ⁡ x + h 2 s e n h 2 h

    Sugestão: utilize que c o s a + b - c o s a - b = - 2 sen ⁡ a   s e n b

  2. Mostre que f ' x = - s e n   x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = cos ⁡ x

E pediu a derivada! Mas não a derivada normal, pediu para que mostremos que a derivada do seno é o cosseno! E para isso pediu para mostrar uma coisa antes:

f x + h - f ( x ) h = - 2 sen ⁡ x + h 2 s e n h 2 h

Utilizando a identidade trigonométrica

c o s a + b - c o s a - b = - 2 sen ⁡ a   s e n b

Ah, mais uma coisinha que (ele não te disse mas é bom você lembrar) é bom ter na manga: o limite fundamental do seno

lim x → 0 ⁡ s e n ( x ) ( x ) = 1

Beleza?

Relaxa, vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro temos que nossa função f ( x ) é

f x = cos ⁡ ( x )

E o problema pede para demonstrar

f x + h - f ( x ) h = - 2 sen ⁡ x + h 2 s e n h 2 h

Então precisamos calcular

f ( x + h )

Certo? Mas aqui vem um truque sujo! Como relacionar isso com a identidade trigonométrica que ele deu

c o s a + b - c o s a - b = - 2 sen ⁡ a   s e n b

Vamos associar c o s ( a + b ) com f ( x + h ) , e c o s ( a - b ) com f ( x ) , mas como? Vem que te mostro

a = x + h 2

b = h 2

Se fizermos a + b = x + h 2 + h 2 = x + h que é o nosso f ( x + h ) , e se fizermos a - b = x + h 2 - h 2 = x , que é nosso f ( x )

Aí temos

f x + h - f x = c o s x + h 2 ⏝ = a + h 2 ⏝ = b - c o s x + h 2 ⏝ = a - h 2 ⏝ = b

Beleza? Agora é só aplicar a identidade trigonométrica

c o s a + b - c o s a - b = - 2 sen ⁡ a   s e n b

c o s x + h 2 + h 2 - c o s x + h 2 - h 2 = - 2 sen ⁡ x + h 2   s e n h 2

E agora vamos dividir isso por h ! E finalmente demonstrar o que ele pediu:

f x + h - f x h = c o s x + h 2 + h 2 - c o s x + h 2 - h 2 h = - 2 sen ⁡ x + h 2   s e n h 2 h

E é isso! Mostramos a primeira parte!!

Passo 3

Agora vamos analisar o limite quando h → 0 , pois essa é a definição de derivada:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ - 2 sen ⁡ x + h 2   s e n h 2 h

parece feio né? Mas vou te mostrar que não é tão ruim assim!

Lembra daquele limite fundamental? Então, a hora dele aparecer é agora! Olha aquele seno de h / 2 , e olha também aquele h no denominador... será que não tem um 2 dando sopa no numerador para gente trazer ele dividindo o denominador?

Tem sim!

lim h → 0 ⁡ - 2 sen ⁡ x + h 2   s e n h 2 h = lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ x + h 2   s e n h 2 h 2

E agora? O limite do produto é o produto dos limites

lim h → 0 ⁡ - sen ⁡ x + h 2 ⏝ h 2 → 0 . lim h → 0 ⁡   s e n h 2 h 2 ⏝ = 1 = - sen ⁡ ( x ) . 1 = - s e n ( x )

Ufa! Conseguimos demonstrar que a derivada da função seno é o cosseno! E a partir de agora você pode usar esse resultado sem precisar refazer nada disso!

E taí nosso resultado!

f x = c o s x → f ' x = - s e n ( x )

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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