Sejam uma função quadrática e a reta tangente ao gráfico de no ponto . Sabendo que e se intersectam o eixo nos pontos e respectivamente, determine

Primeiro vamos olhar para a função quadrática

Sabemos que o ponto que ela cruza o eixo vertical: , então daqui já tiramos o valor do termo independente

Tranquilo?

Agora vamos olhar com carinho para nossa equação da reta tangente:

Sabemos o ponto em que a reta é tangente ao gráfico:

Então substituindo temos

Tudo bem até aqui?

Mas sabemos de mais um outro detalhe: sabemos que essa reta corta o eixo no ponto ! Então esse ponto pertence a essa reta:

Olha que legal: encontramos o valor da derivada da função quadrática no ponto !

vamos guardar esse resultado!

Agora vamos lembrar qual é a cara da nossa função quadrática, lá do passo 2:

Bom, sabemos que o ponto em que a reta é tangente ao gráfico de é , então esse ponto também pertence à :

E assim ficamos com uma equação envolvendo e :

Beleza?

Sabe aquele resultado que guardamos do passo anterior? Da derivada? Vamos usar agora! Qual é a derivada de ? Não sei, mas ela é uma função quadrática, então podemos derivar e deixar em função de e :

E agora vem aquele nosso resultado: sabemos que , aí é só substituir

a ,   b ! Sendo assim montamos o seguinte sistema:

Nossa missão agora é resolver esse sistema!

Temos o seguinte sistema

Podemos eliminar o coeficiente se subtrairmos a segunda da primeira equação (mas aqui você é livre para resolver do modo que for mais confortável! Existem diversas formas de encontrar e ! Testa uma diferente da minha e confere o resultado!):

Fazendo :

E agora substituindo na primeira equação:

Assim temos que os coeficientes são

Beleza?

Estamos quase lá! Reunindo os coeficientes temos finalmente a cara da nossa função

Sabemos agora da cara da nossa função , podemos calcular :

E taí nosso resultado!

Beleza?

Espero ter ajudado!