UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.5 – Questão C7
Considere a função logarítmica , em que e .
- Mostre que
- Mostre que para temos , em que e
- Mostre que
- O que acontece com a derivada quando , isto é, quando a função é ?
Passo 1
E aí pessoal, tudo belezinha?
Esse problema parece complicado, mas vou ajudar você aqui! Bora lá? Temos uma função
E os itens que seguem são referentes a essa função!
Então a ideia é usar ela e ir mostrando o que o problema pede. Sempre começando pelo lado esquerdo da igualdade, e ir manipulando a ponto de chegar no resultado que ele pede!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora começar?
Passo 2
Letra (a): nesse primeiro item o problema pede para mostrarmos a seguinte igualdade
Como resolver esse limite? Aqui vai um #ATERTATRUQUESUJO
vamos fazer uma mudança de variáveis! Chamando
Nosso limite fica com :
Tudo bem até aqui? E agora? Agora vamos colocar em evidência no denominador
Olha só! Sente a maldade! Lembra dos limites fundamentais envolvendo exponenciais e logaritmos? Esse aqui você precisa ter na ponta da língua!
Você vê semelhança com o nosso limite e com o limite ali do meio?
É exatamente ele que vamos usar! Como independe de , pode sair do limite
E é exatamente essa expressão que o problema pede para mostrarmos! Assim demonstramos que
Tranquilo? Vamos para o item (b)?
Passo 3
Letra (b): Agora o problema pede para mostrar que para supondo que e temos:
Para resolver questões de demonstração eu já comentei, mas não custa nada repetir: precisamos partir da expressão do lado esquerdo, substituir o que é preciso e ir manipulando até chegar no outro lado!
Então saindo de e , isolando e aplicando a definição de logaritmo temos
Beleza? Agora é só substituir na expressão do lado esquerdo da igualdade, lembrando que e :
Chegamos exatamente aonde o problema queria!
Beleza? Vamos para o terceiro item?
Passo 4
Letra (c): agora vem a derivada! Precisamos mostrar que
Primeiramente vamos lembrar da definição de derivada através do limite
Vou resgatar de lá o resultado
Assim nosso limite fica
E agora? Agora você se lembra lá do passo 2 quando mostramos
Mas sabemos também do passo anterior que que
Então, na verdade, já mostramos a derivada do logaritmo!
E para um qualquer
Ufa! Estamos quase lá!
Passo 5
Letra (d): agora o problema nos pergunta o que acontece com a derivada quando a base da função exponencial é o ? ou seja
Vamos substituir na nossa recém demonstrada fórmula de derivada!
Agora temos que :
Mas sabemos que , aí a derivada é igual à função!
E a partir de agora você pode usar a fórmula de derivada de função logarítmica tanto de base quanto de base qualquer !
Beleza?
Espero ter ajudado!