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Exercícios Resolvidos de Propriedades de Derivadas

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Enunciado

UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.5 – Questão C3

Seja n um número real fixado e considere a função f x = x n . a tabela nos diz que f ' x = n x n - 1 . Nesse exercício vamos deduzir esta fórmula apenas no caso em que n é um número natural positivo.

  1. Verifique que os produtos abaixo são verdadeiros
  • 1 . x - x 0 = x - x 0
  • x + x 0 x - x 0 = x 2 - x 0 2
  • x 2 + 2 x x 0 + x 0 2 . x - x 0 = x 3 - x 0 3
  • x 3 + x 2 x 0 + x x 0 2 + x 0 3 . x - x 0 = x 4 - x 0 4
  • x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 . x - x 0 = x n - x 0 n

  • Verifique que na expressão x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 há n parcelas na soma
  • Considere f x = x n e, usando o item (a), mostre que

    • f x - f ( x 0 ) x - x 0 = x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1

    Sempre que x for diferente de x 0

  • Mostre que f ' x = n x n - 1

    • Passo 1

    Oi pessoal, tudo bem?

    Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

    No primeiro item ela pede para mostrarmos uma série de produtos, então precisamos, um a um, ir calculando e vendo a equivalência, beleza?

    No segundo item o problema pede para verificar que há n parcelas: aqui também precisamos analisar a expressão e ver a equivalência

    E nos dois últimos itens? Vamos usar os resultados de (a) e (b) e aí mostrar a primeira das fórmulas de derivada que conhecemos

    f ' x = n x n - 1

    Calma! A questão é um pouco longa e complicada, mas estou aqui!

    Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

    Passo 2

    Letra (a): nesse primeiro item vamos mostrar os seguintes produtos

  • 1 . x - x 0 = x - x 0
  • x + x 0 x - x 0 = x 2 - x 0 2
  • x 2 + 2 x x 0 + x 0 2 . x - x 0 = x 3 - x 0 3
  • x 3 + x 2 x 0 + x x 0 2 + x 0 3 . x - x 0 = x 4 - x 0 4
  • x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 . x - x 0 = x n - x 0 n

    • O primeiro e o segundo são bem conhecidos (basta aplicar a propriedade distributiva):

    1 . x - x 0 = x - x 0

    x + x 0 x - x 0 = x 2 - x 0 2

    Beleza? Agora vamos mostrar o terceiro:

    x 2 + 2 x x 0 + x 0 2 . x - x 0 = x 2 . x - x 2 x 0 + 2 x x 0 x - x 0 2 . x 0 + x 0 2 x - x 0 2 x 0

    = x 3 - x 0 3

    É só cortar os termos semelhantes! Esse também é conhecido como diferença entre cubos

    Tranquilo?

    Agora o quarto produto:

    x 3 + x 2 x 0 + x x 0 2 + x 0 3 . x - x 0 = x 4 - x 3 x 0 + x 3 x 0 - x 2 x 0 2 + x 2 x 0 2 + x 0 3 x - x 0 4

    E novamente simplificando temos

    = x 4 - x 0 4

    Você percebeu um padrão?

    Os termos ‘mistos’ vão sempre se cancelando! Ficamos apenas com os extremos (com 1 unidade a mais no expoente)!

  • 1 . x - x 0 = x - x 0
  • x + x 0 x - x 0 = x 2 - x 0 2
  • x 2 + 2 x x 0 + x 0 2 . x - x 0 = x 3 - x 0 3
  • x 3 + x 2 x 0 + x x 0 2 + x 0 3 . x - x 0 = x 4 - x 0 4

Aí então vem a nossa generalização! Se tivermos um produto assim

x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 . x - x 0

O resultado vai ficar apenas com os termos extremos, com uma unidade a mais no expoente

= x n - 1 + 1 - x 0 n - 1 + 1 = x n - x 0 n

Beleza? Primeiro ponto concluído com sucesso!

Passo 1

Letra (b): Agora vamos analisar a segunda igualdade

“Verifique que na expressão x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 há n parcelas na soma”

Vamos ver com um exemplo? Vamos testar com n = 2 :

  x 2 - 1 + x 2 - 2 x 0 + x x 0 2 - 2 + x 0 2 - 1 = x + x 0 + x + x 0 = 2 x + 2 x 0

temos duas parcelas na soma! Verificamos!

Beleza? Vamos para o terceiro item?

Passo 2

Letra (c): supondo f x = x n , o problema pede para mostrar que

f x - f ( x 0 ) x - x 0 = x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1

Começando pelo lado esquerdo:

f x - f ( x 0 ) x - x 0 = x n - x 0 n x - x 0

Beleza? Mas no passo 2 nós mostramos uma outra forma de escrever o numerador

x n - x 0 n = x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 . x - x 0

Então vamos substituir e simplificar o que for possível:

f x - f x 0 x - x 0 = x n - x 0 n x - x 0 = x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 . x - x 0 x - x 0 =

= x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1

E é exatamente o que o problema pediu para calcularmos!

Beleza? Agora vamos juntar todos os resultados?

Passo 3

Letra (d):

Agora o problema pediu para calcularmos a derivada! Mas vamos lembrar da definição de derivada através do limite

lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

x por x 0 : mas calma lá! Se fizermos isso obtermos uma divisão por zero!

Mas considerando f x = x n , encontramos uma forma de escrever essa razão no passo anterior:

f x - f ( x 0 ) x - x 0 = x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1

E substituindo no limite temos

lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0 = lim x → x 0 ⁡ x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1

Agora sim vamos substituir x por x 0 :

lim x → x 0 ⁡ x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 = x 0 n - 1 + x 0 n - 2 x 0 + … + x 0 x 0 n - 2 + x 0 n - 1

Arrumando os expoentes temos

= x 0 n - 1 + x 0 n - 1 + x 0 n - 1 + … + x 0 n - 1

E quantas parcelar será que temos?

Temos n parcelas! Encontramos esse resultado no item (b)! lá no passo 3! Então nosso limite fica assim

lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0 = n x 0 n - 1

E é exatamente a derivada da função f x = x n em x = x 0 !

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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