Seja n um número real fixado e considere a função f(x) = x^n . a tabela nos diz que f'(x) = n * x^(n - 1) . Nesse exercício vamos deduzir esta fórmula apenas no caso em que n é um número natural positivo.

  1. Verifique que os produtos abaixo são verdadeiros
  • 1.(x - x0) = x - x0
  • (x + x_0)(x - x_0) = x^2 - x_0^2
  • (x^2 + 2x * x_0 + x_0^2) . (x - x_0) = x^3 - x_0^3
  • (x^3 + x^2 + x_0 + x_{0}^{2} + x_{0}^{3}) (x - x_0) = x^4 - x_{0}^{4}
  • (x^n-1 + x^n-2 + x_0 + ... + x_{0,n-2} + x_{0,n-1}) . (x - x_0) = x^n - x_{0,n}
  • Verifique que na expressão x^(n-1) + x^(n-2) + x_0 + ... + x_0^(n-2) + x_0^(n-1) n parcelas na soma
  • Considere f(x) = x^n e, usando o item (a), mostre que
  • f(x) - f(x0) / (x - x0) = x^(n-1) + x^(n-2)x0 + … + x_(x0)^(n-2) + x_(x0)^(n-1)

    Sempre que x for diferente de x_0

  • Mostre que f'(x) = n * x^(n - 1)
  • Passo 1

    Oi pessoal, tudo bem?

    Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

    No primeiro item ela pede para mostrarmos uma série de produtos, então precisamos, um a um, ir calculando e vendo a equivalência, beleza?

    No segundo item o problema pede para verificar que há n parcelas: aqui também precisamos analisar a expressão e ver a equivalência

    E nos dois últimos itens? Vamos usar os resultados de (a) e (b) e aí mostrar a primeira das fórmulas de derivada que conhecemos

    f'(x) = n * x^(n-1)

    Calma! A questão é um pouco longa e complicada, mas estou aqui!

    Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

    Passo 2

    Letra (a): nesse primeiro item vamos mostrar os seguintes produtos

  • 1.(x - x0) = x - x0
  • (x + x_0)(x - x_0) = x^2 - x_0^2
  • (x^2 + 2x * x0 + x0^2) . (x - x0) = x^3 - x0^3
  • (x^3 + x^2 + x_0 + x_{0}^{2} + x_{0}^{3}) * (x - x_0) = x^4 - x_{0}^{4}
  • (x^(n-1) + x^(n-2) + x_0 + ... + x_(0,n-2) + x_(0,n-1)) . (x - x_0) = x^n - x_(0,n)
  • O primeiro e o segundo são bem conhecidos (basta aplicar a propriedade distributiva):

    1.(x - x₀) = x - x₀

    (x + x_0)(x - x_0) = x^2 - x_0^2

    Beleza? Agora vamos mostrar o terceiro:

    (x^2 + 2x * x_0 + x_0^2) . (x - x_0) = x^2 . x - x^2 * x_0 + 2x * x_0 * x - x_0^2 . x_0 + x_0^2 * x - x_0^2 * x_0

    = x^3 - x_{0}^{3}

    É só cortar os termos semelhantes! Esse também é conhecido como diferença entre cubos

    Tranquilo?

    Agora o quarto produto:

    (x^3 + x^2 * x0 + x * x0^2 + x0^3) * (x - x0) = x^4 - x^3 * x0 + x^3 * x0 - x^2 * x0^2 + x^2 * x0^2 + x0^3 * x - x0^4

    E novamente simplificando temos

    = x^4 - x_0^4

    Você percebeu um padrão?

    Os termos ‘mistos’ vão sempre se cancelando! Ficamos apenas com os extremos (com 1 unidade a mais no expoente)!

  • 1.(x - x0) = x - x0
  • (x + x_0)(x - x_0) = x^2 - x_0^2
  • (x^2 + 2x * x_0 + x_0^2) . (x - x_0) = x^3 - x_0^3
  • (x^3 + x^2 + x_0 + x_{0}^{2} + x_{0}^{3}) . (x - x_0) = x^4 - x_{0}^{4}

Aí então vem a nossa generalização! Se tivermos um produto assim

(x^(n-1) + x^(n-2) + x_0 + ... + x_0^(n-2) + x_0^(n-1)) . (x - x_0)

O resultado vai ficar apenas com os termos extremos, com uma unidade a mais no expoente

x^(n-1+1) - x_0^(n-1+1) = x^n - x_0^n

Beleza? Primeiro ponto concluído com sucesso!

Passo 1

Letra (b): Agora vamos analisar a segunda igualdade

“Verifique que na expressão x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 n parcelas na soma”

Vamos ver com um exemplo? Vamos testar com n = 2 :

  x 2 - 1 + x 2 - 2 x 0 + x x 0 2 - 2 + x 0 2 - 1 = x + x 0 + x + x 0 = 2 x + 2 x 0

temos duas parcelas na soma! Verificamos!

Beleza? Vamos para o terceiro item?

Passo 2

Letra (c): supondo f x = x n , o problema pede para mostrar que

f x - f ( x 0 ) x - x 0 = x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1

Começando pelo lado esquerdo:

f x - f ( x 0 ) x - x 0 = x n - x 0 n x - x 0

Beleza? Mas no passo 2 nós mostramos uma outra forma de escrever o numerador

x n - x 0 n = x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 . x - x 0

Então vamos substituir e simplificar o que for possível:

f x - f x 0 x - x 0 = x n - x 0 n x - x 0 = x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 . x - x 0 x - x 0 =

= x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1

E é exatamente o que o problema pediu para calcularmos!

Beleza? Agora vamos juntar todos os resultados?

Passo 3

Letra (d):

Agora o problema pediu para calcularmos a derivada! Mas vamos lembrar da definição de derivada através do limite

lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

x por x 0 : mas calma lá! Se fizermos isso obtermos uma divisão por zero!

Mas considerando f x = x n , encontramos uma forma de escrever essa razão no passo anterior:

f x - f ( x 0 ) x - x 0 = x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1

E substituindo no limite temos

lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0 = lim x → x 0 ⁡ x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1

Agora sim vamos substituir x por x 0 :

lim x → x 0 ⁡ x n - 1 + x n - 2 x 0 + … + x x 0 n - 2 + x 0 n - 1 = x 0 n - 1 + x 0 n - 2 x 0 + … + x 0 x 0 n - 2 + x 0 n - 1

Arrumando os expoentes temos

= x 0 n - 1 + x 0 n - 1 + x 0 n - 1 + … + x 0 n - 1

E quantas parcelar será que temos?

Temos n parcelas! Encontramos esse resultado no item (b)! lá no passo 3! Então nosso limite fica assim

lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0 = n x 0 n - 1

E é exatamente a derivada da função f x = x n em x = x 0 !

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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