UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.5 – Questão C6
Considere a função exponencial , em que e .
- Mostre que
- Mostre que
- O que acontece com a derivada quando , isto é, quando a função é ?
Passo 1
Oi, tudo bem?
Esse problema parece complicado, mas vou ajudar você aqui! Bora lá? Temos uma função
E os itens que seguem são referentes a essa função!
Então a ideia é usar ela e ir mostrando o que o problema pede. Sempre começando pelo lado esquerdo da igualdade, e ir manipulando a ponto de chegar no resultado que ele pede!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora começar?
Passo 2
Letra (a): nesse primeiro item o problema pede para mostrarmos a seguinte igualdade
Já sabemos que a função
Então precisamos calcular :
Beleza? E agora? Agora é substituir no lado esquerdo e ir manipulando!
Olha só!
É exatamente o que temos de mostrar!
Tranquilo? Vamos para o item (b)?
Passo 3
Letra (b): Agora vamos para a derivada! O problema pede para mostrarmos que
Mas vamos primeiro relembrar como calculamos a derivada através de limite
Mas olha que legal: já encontramos uma forma alternativa de escrever aquela razão! E é essa forma que vamos usar! Da letra (a) mostramos que
Aí nosso limite fica assim
E agora? Temos que não depende de e portanto pode sair para fora do limite
Beleza?
Agora vem nosso truque sujo: limite fundamental! Esses aqui são os limites fundamentais que você precisa lembrar (pra toda vida!)
E é o segundo que vamos aplicar aqui! Nosso limite é
E no nosso caso , e aí o resultado do limite fica assim
Assim temos que a derivada da nossa função exponencial é
Beleza? Vamos para o último termo?
Passo 4
Letra (c): agora o problema nos pergunta o que acontece com a derivada quando a base da função exponencial é o ? ou seja
Vamos substituir na nossa recém demonstrada fórmula de derivada!
Agora temos que :
Mas sabemos que , aí a derivada é igual à função!
E a partir de agora você pode usar a fórmula de derivada de função exponencial tanto de base quanto de base qualquer !
Beleza?
Espero ter ajudado!