Listas de Derivadas de Cálculo 1 da UFSC - Lista 2.7 - Regra da Cadeia
Cálculo 1 - UFSC
Use a regra da cadeia para provar que (a) a derivada de uma função par é uma função ímpar e (b) a derivada de uma função ímpar é uma função par, desde que essas derivadas existam.
Ver solução completaMuitas tabelas de derivadas não vêm com a regra da cadeia de forma explícita, ela aparece embutida nas fórmulas das derivadas elementares. Por exemplo, é muito comum você encontrar no lugar de . Neste exercício vamos aprender outro tipo de formulação.
Nesse exercício vamos aprender esse outro tipo de formulação.
a) Sejam e (pense aqui que é uma função de que omitimos o parêntesis com x) e considere . Escreva quem é explicitamente.
b) Nas mesmas condições do exercício acima, determine , deixando a resposta em termos de .
(c) Juntando os itens (a) e (b) você descobriu que . Essa fórmula pode ser lida como “a derivada do seno de alguma coisa é a derivada da coisa vezes o cosseno da coisa”. Sem passar pela formulação da regra da cadeia original, utilize essa fórmula para determinar a derivada de
Ver solução completaMuitas tabelas de derivadas não vêm com a regra da cadeia de forma explícita, ela aparece embutida nas fórmulas das derivadas elementares. Por exemplo, é muito comum você encontrar no lugar de . Neste exercício vamos aprender outro tipo de formulação.
Nesse exercício vamos aprender esse outro tipo de formulação.
d) Como você pode reobter a fórmula a partir de ?
e) Utilize um raciocínio análogo com e e descubra que
f) Usando a resposta do item anterior, calcule a derivada de .
Ver solução completaMuitas tabelas de derivadas não vêm com a regra da cadeia de forma explícita, ela aparece embutida nas fórmulas das derivadas elementares. Por exemplo, é muito comum você encontrar no lugar de . Neste exercício vamos aprender outro tipo de formulação.
Nesse exercício vamos aprender esse outro tipo de formulação.
g) Repita a ideia para as derivadas elementares que você conhece e construa sua nova tabela de derivadas já com a regra da cadeia embutida. Após concluir o resultado, perceba que todas elas são construídas da mesma forma: substitui-se na fórmula original por e multiplica-se a derivada por .
Ver solução completaC6. Já vimos que a função |x| não é diferençável em x = 0, mas que a derivada existe em todos os outros pontos (igual a −1 se x é negativo e 1 se x é positivo). Nesse exercício vamos usar um artifício para trabalhar com a derivada de funções com m´ondulo sem ter que separar em partes.
a) Verifique que para todo .
b) Pelo item (a), a função h(x) = |x| é a composição das funções . Use isso e a regra da cadeia para encontrar . Verifique que sua resposta está de acordo com o esperado.
c)Utilize a formula descoberta no item anterior e a regra da cadeia para calculara a derivada de
Ver solução completaA equação geral da posição de um objeto em movimento harmônico simples é dada por , em que são constantes. Determine .
Ver solução completaMuitas vezes quando vamos modelar um problema físico, uma equação diferencial é obtida. Por exemplo, ao aplicar as leis da Física ao problema de um objeto em queda livre em que supõe-se que a resistência do ar é proporcional à velocidade, a equação diferencial obtida para a velocidade do objeto é , em que é a massa do objeto, é a aceleração da gravidade e k é a constante de proporcionalidade associada à resistência do ar. Mostre que é uma solução para a equação.
Ver solução completaA regra da cadeia diz que
a) Aplique a fórmula acima duas vezes em sequência e encontre uma regra para a derivada da composição de três funções.
b) Estenda seu raciocínio para encontrar uma fórmula para a derivada da composição de funções.
c) Utilize a fórmula descoberta para calcular a derivada de .
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