UFSC – Sem Campus – Regra da cadeia – Lista 2.7 – Limites fundamentais – C6
C6. Já vimos que a função |x| não é diferençável em x = 0, mas que a derivada existe em todos os outros pontos (igual a −1 se x é negativo e 1 se x é positivo). Nesse exercício vamos usar um artifício para trabalhar com a derivada de funções com m´ondulo sem ter que separar em partes.
a) Verifique que para todo .
b) Pelo item (a), a função h(x) = |x| é a composição das funções . Use isso e a regra da cadeia para encontrar . Verifique que sua resposta está de acordo com o esperado.
c)Utilize a formula descoberta no item anterior e a regra da cadeia para calculara a derivada de
Passo 1
Fala turma, bora resolver a questão?! Primeiro precisamos verificar que para todo x pertencentes aos reais (isso isenta os números imaginários “i”). Verificamos isso da seguinte forma:
Sendo , se :
Se :
Uma vez que a função assume apenas valores positivos por positivos por definição.
Passo 2
Verificando a nossa resposta, testamos:
Essa é a formula pra derivada por regra da cadeia. Temos então que:
Mas, quem é ? Vocês lembram?
Logo,
Por fim,
Passo 3
Aqui agora vamos calcular essa derivada que ele nos desafia, com o método que aprendemos nos passos 1 e 2. Temos, portanto, que:
Olhando de uma nova vista, temos:
Para a nossa função ser derivada, significa que e vão ficar:
Agora é só a gente substituir tudo e temos a resposta!