UFSC; Cálculo 1; Lista 2.7 – Regra da cadeia; Exercício C3f
C3) Determine a derivada das funções abaixo.
f)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse enunciado nos pede para encontrarmos . Mas o que isso significa?
é a derivada da função e, como a função completa possui uma multiplicação, devemos aplicar a regra do produto, que nos diz:
Usando essa regra no nosso enunciado:
Para encontrarmos e , vemos ambas as funções são compostas e, portanto, para encontrarmos a derivada, precisamos utilizar a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?
A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é e sua derivada é: .
Passo 2
Para :
Aplicando a regra:
Para :
Então:
Perceba que também deve ser calculada pela regra do produto:
Simplificando:
Agora, perceba que está em uma fração, então devemos aplicar a regra do quociente, que nos diz:
Usando essa regra para o nosso enunciado:
Para encontrarmos , devemos aplicar a regra da cadeira, onde:
Então:
Para encontrarmos , podemos realizar a derivada diretamente:
Aplicando a regra do quociente:
Juntando com o restante calculado:
Simplificando:
Passo 3
Como descobrimos todos os termos necessários para a nossa regra do produto original, vamos calcular!
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?