C1) Seja uma função tal que e . Determine , em que

.

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para encontrarmos . Mas o que isso significa?

é a derivada da função no ponto em que . Ou seja, o que devemos fazer é derivar e aplicarmos, quando necessário, o valor de

Vamos, então, avaliar . Perceba que dentro de temos alguns usos de . Calma, não se assuste! Vamos tratar todos os como uma variável qualquer. Precisamos derivar cada item dessa soma para encontrarmos .

Para começar, vamos avaliar . Essa derivada é de um tipo muito comum quando iniciamos o estudo das diferenciais, já que é explicada pela definição de derivada por limite. Não é necessário entendermos matematicamente como chegar no resultado, vamos apenas considerar e guardar essa resposta para usarmos sempre que preciso. A derivada de é:

Agora, vamos avaliar . Assim como o caso anterior, essa expressão é muito comum e nos mostra a divisão de uma função pela sua própria variável o que, matematicamente, é uma constante! Como é uma constante, quando derivarmos ela sumirá. Mais uma vez não daremos ênfase à explicação de limite para esse caso, mas tenha em mente o uso sempre que precisar!

Por fim, vamos avaliar . Essa expressão pode ser reescrita como . Essa derivada deve ser calculada considerando a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?

A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é , onde e , e sua derivada é: .

Para o nosso caso:

Essa expressão pode ser simplificada como:

Portanto: