UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.7 – Questão P2j
Determine a derivada das funções abaixo
Passo 1
Oi, pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema deu essa função aqui
E pediu a derivada!
Assim que você olhar uma função que tem uma divisão e precisa calcular a derivada dela, precisa pensar logo na REGRA DO QUOCIENTE!
A regra do quociente nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma divisão de duas outras funções.
Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções :
A ideia aqui é identificar quem são essas funções e no nosso exercício, calcular a derivada de cada uma delas e jogar os resultados (e as funções) na regra do quociente
Só que tem mais um detalhe! As funções que compõe esse quociente são compostas!
Isso mesmo! As derivadas das funções de cima e de baixo precisam ser calculadas utilizando a regra da cadeia!
Então primeiro vou calcular as derivadas das funções que compõe e numerador e o denominador, para depois substituir na regra do quociente, beleza?
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa função é a seguinte:
A função do numerador vou chamar de :. E a do denominador de : .
Vamos começar derivando a do numerador!
A função que temos é:
A função que “está por fora” é a raiz cúbica, e ela sabemos derivar se o argumento for apenas :
Só que o argumento da nossa raiz não é , é . E por isso precisamos da regra da cadeia! Chamei o argumento de para facilitar nossa, vida, mas pode ser qualquer coisa! Função trigonométrica, polinômio...
Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia
A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta , a derivada dessa função é:
Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro
A função de fora é , cuja derivada é , e a de dentro é , cuja derivada é . Então agora é só substituir esses resultados na regra da cadeia:
Tranquilo?
Agora vamos derivar o denominador:
aqui a derivada é simples, não envolve a regra da cadeia pois a potência está só em cima do , não tendo nenhuma outra função ali dentro.
Então aqui é derivar aplicando a regra da potência mesmo:
Beleza?
Passo 3
Agora com as derivadas na mão, vamos jogar tudo dentro da regra do quociente!
Relembrando, nossa função era:
Aí chamamos de a função do numerador e de a do denominador. As funções e as derivadas são:
E também
Agora precisamos aplicar a regra do quociente:
Substituindo temos:
Não conseguimos fazer grandes simplificações, mas as multiplicações no numerador e algumas simplificações sim:
E é essa nossa resposta!
Não ficou lá muito bonita, mas o que importa é que está correta! Então te liga no seguinte: aplicar a regra do produto/quociente não te isenta de ter que aplicar a regra da cadeia em alguma parcela viu! Então minha dica é a seguinte: identifica as partes (seja da razão, seja da multiplicação), deriva elas individualmente (aplica a cadeia quando for preciso) e só depois substitui na regra do quociente (ou produto)
Beleza?
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?