UFSC; Cálculo 1; Lista 2.7 – Regra da cadeia; Exercício C3h
C3) Determine a derivada das funções abaixo.
h)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse enunciado nos pede para encontrarmos . Mas o que isso significa?
é a derivada da função e, como a função completa está em uma fração (quociente), devemos aplicar a regra do quociente, que nos diz:
Usando essa regra para o nosso enunciado:
Agora precisamos encontrar e para aplicarmos à regra do quociente.
Passo 2
Para :
Como há o produto entre duas funções de , precisamos aplicar a regra do produto. Mas o que isso significa?
A regra do produto nos diz que:
Usando essa regra no nosso enunciado:
Para aplicarmos a regra do produto, também precisaremos encontrar e .
Então, para :
Essa é uma derivada direta, e é .
Para :
Aqui teremos a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?
A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é e sua derivada é: .
No nosso exemplo:
Portanto:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Para :
Aqui teremos a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?
A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é e sua derivada é: .
No nosso caso:
Aplicando a regra:
Passo 4
Legal! Agora que conhecemos e , podemos calcular a regra do quociente inicial:
Vamos dividir essa fração em duas:
Simplificando:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?