UFSC; Cálculo 1; Lista 2.7 – Regra da cadeia; Exercício C3d
C3) Determine a derivada das funções abaixo.
d)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse enunciado nos pede para encontrarmos , onde:
Mas o que isso significa?
é a derivada da função e, antes de tudo, precisamos reescrever essa função para deixarmos ela mais simples de trabalharmos.
Primeiro, podemos aplicar a raiz no numerador e no denominador:
Agora, podemos reescrever em forma de potência:
Podemos perceber que há uma fração (quociente). Portanto, devemos utilizar a regra do quociente para derivação:
Usando essa regra para o nosso enunciado:
Passo 2
Para encontrarmos e , vemos que as funções estão completamente em uma potência e, para encontrarmos a derivada, precisamos utilizar a regra da cadeia. Ok, mas quando usamos a regra da cadeia?
A regra da cadeia será utilizada sempre que tivermos uma função composta, que nada mais é do que uma função dentro de outra, ou seja um “aninhamento” de funções. Matematicamente, uma função composta é e sua derivada é: .
Para :
e
Então:
Para :
e
Então:
Passo 3
Agora que já temos esses resultados, vamos calcular . Aplicando a regra do quociente:
Como há uma subtração na fração, podemos dividi-la:
Simplificando as frações:
Reorganizando, temos:
Agora, pra simplificar um pouquinho mais, podemos deixar tudo no mesmo denominador.
Como está tudo no mesmo denominador, podemos juntar as frações:
Portanto, pra finalizar de vez, temos:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?