UFSC – Sem Campus – Regra da cadeia – Lista 2.7 – Limites fundamentais – C5abc
Muitas tabelas de derivadas não vêm com a regra da cadeia de forma explícita, ela aparece embutida nas fórmulas das derivadas elementares. Por exemplo, é muito comum você encontrar no lugar de . Neste exercício vamos aprender outro tipo de formulação.
Nesse exercício vamos aprender esse outro tipo de formulação.
a) Sejam e (pense aqui que é uma função de que omitimos o parêntesis com x) e considere . Escreva quem é explicitamente.
b) Nas mesmas condições do exercício acima, determine , deixando a resposta em termos de .
(c) Juntando os itens (a) e (b) você descobriu que . Essa fórmula pode ser lida como “a derivada do seno de alguma coisa é a derivada da coisa vezes o cosseno da coisa”. Sem passar pela formulação da regra da cadeia original, utilize essa fórmula para determinar a derivada de
Passo 1
Fala turminha, bora pra cima! A questão como um todo eu dividi em três partes, pra não ficar não extenso em um único arquivo gigante. Então, bora lá! Primeiro pro item a), devemos escrever quem é , considerando as definições de .
Logo,
Mas... quem é ? Veja, basta aplicamos dentro do que a questão nos dá. Portanto:
Logo,
Passo 2
Agora pro item b), temos que derivar essa função que encontramos, permanecendo em termos de . Logo, derivando essa função de , obteremos uma função . Mas, lembra da regra da cadeia? O nosso já é definido por uma função. Logo, temos que multiplicar ele após a derivada. Se liga:
Logo,
Passo 3
Show, tranquilinho até aqui? Vamos partir pro item c). Nele, a questão nos apresenta o “ou seja” dos dois outros itens e agora podemos derivar uma nova função parecida com a que trabalhamos acima e observar como o conceito de se comportam dentro da regra da cadeia. A função que ele quer que a gente derive é:
)
Show, sem problemas. Usando o que a gente aprendeu nos passos 1 e 2, temos:
)
Dentro do seno, podemos chamar essa função de e, a partir disso, encontrarmos e aplicarmos a definição da regra da cadeia. Portanto,
)
Logo, juntando tudo isso na definição que a gente viu no passo 2: