UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.7 – Questão P2c
Determine a derivada das funções abaixo
Passo 1
Oi, tudo bem? O problema deu essa função aqui
e pediu para determinarmos a derivada dela
mas calma aí! Sabemos algumas derivadas! Por exemplo a derivada da função logarítmica natural:
A derivada do seno é o cosseno
Mas, e a derivada de
Aí que tá! O argumento do logaritmo na derivada que conhecemos é apenas, e não , ou qualquer outra função trigonométrica, ou até outra função dentro!
Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia
A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta , a derivada dessa função é:
E caso tenhamos outra função dentro da função , por exemplo, uma outra função , é só manter o argumento na derivada de e multiplicar pela derivada de .
É isso, é ir derivando de fora para dentro, mantendo o argumento das de dentro, depois multiplicando pela derivada da função de dentro.
Tranquilo?
Mas calma que vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
A função que precisa ser derivada é
a que está mais por fora é a , e a de dentro é a , então vamos aplicar a regra da cadeia: derivando o logaritmo, mantendo o argumento (eu troquei a expressão por para facilitar nossa vida e visualizar que precisamos derivar apenas a função de fora, sem mexer no argumento dela, mas no final é só substituir pela expressão original) depois multiplicamos pela derivada de :
Tranquilo?
E é essa nossa resposta!