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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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Enunciado

USP probabilidade e estatística probabilidades PREC 2019

A polícia rodoviária inspeciona em média 30   veículos por hora em um ponto da estrada. Historicamente há 1   veículo irregular a cada 10   inspecionados. Na última hora foram encontrados 6   veículos irregulares. Para avaliar se a média mudou para 2   veículos irregulares a cada 10   inspecionados o policial calcula a probabilidade de ser razoável a ocorrência da última hora. O valor encontrado é:

Passo 1

Fala pessoal, Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Como de costume, vamos anotar as informações passadas no enunciado.

São inspecionados, em média, 30 veículos.

Historicamente há 1 veículo irregular a cada 10 carros.

Na última hora, foram encontrados 6 irregulares

Queremos saber a probabilidade da ocorrência de 6 irregulares

Passo 2

Vamos com calma, primeiro, vamos calcular a probabilidade de observarmos um carro irregular.

Vamos chamar de P I a probabilidade de o carro ser irregular e P R a do carro ser regular

Temos 1 a cada 10 carros são irregulares. Então a probabilidade do carro ser irregular será 1 10

E temos 9 a cada 10 carros regulares Então a probabilidade do carro ser regular é 9 10

Então

P R   =   0.9

e

P I   =   0.1

Passo 3

Nosso objetivo é calcular a probabilidade de ser razoável a ocorrência de 6   carros irregulares na última hora. Mas o que seria essa probabilidade? Vamos pensar um pouco.

Sabemos que na última hora passam em média 30 carros, então o que queremos calcular é a probabilidade de observarmos 6 carros irregulares em 30 carros.

Vamos olhar a probabilidade de uma sequência qualquer de 30 carros conter 6 carros irregulares

Suponha que nossa sequência é da forma

I   I   I   I   I   R   R   … R  

Onde I   representa o carro irregular e R   o carro regular

Como o enunciado diz que cada carro é independente, então a probabilidade dessa sequência é:

0.1 ⋅ 0.1 ⋅ 0.1 ⋅ 0.1 ⋅ 0.9 ⋅ … ⋅ 0.9  

=   0.1 6 ⋅ 0.9 24

Mas quantas sequências dessa forma têm? Isto é de quantas formas distintas podemos permutar uma sequência contendo 6 carros irregulares de 30 carros?

Teremos 30 escolhe 6 sequências!

Então a probabilidade de observamos 6 carros irregulares em 30 carros é

30 ! 6 ! 24 ! 0.1 6 0.9 24

Terminamos mais uma questão! Espero que os passos tenham ficado claros. Bons estudos e até a próxima pessoal!!! 😊

Resposta

30 ! 6 ! 24 ! 0.1 6 0.9 24

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