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Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

USP probabilidade REC 2019

Duas variáveis aleatórias contínuas X   e   Y   têm densidade de probabilidade conjunta dada por:

f x , y = 2 x + y ,     0 < x < y < 1

0 ,   caso contrário.

A densidade condicional de Y   dado X , para 0 < y < 1 ,   é?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Como de costume vamos anotar as informações passadas no enunciado da questão. Temos a densidade da distribuição conjunta de X   e   Y   .

f x , y = 2 x + y ,     0 < x < y < 1

E queremos calcular a densidade condicional de Y | X   .

Vamos lembrar a definição de distribuição condicional?

f Y | X y   =   f x , y f X x    

Onde f X x   é a distribuição marginal de X   .

Passo 2

Agora que já sabemos o que precisamos calcular, vamos obter a marginal de X   .

Por definição:

f X x   =   ∫ y   f x , y d y  

Isto é calculamos a integral da distribuição conjunta em todos os valores de y   no domínio da distribuição.

Mas quais são os possíveis valores de y   no domínio da f x , y ? Temos que: 0 < x < y < 1 ,   o u   s e j a , x < y < 1   são os possíveis valores de y   .

Então

f X x   =   ∫ y   f x , y d y  

=   ∫ x 1   f x , y d y  

=   ∫ x 1   2 x + y d y  

=   2 x y + y 2 2 ​ y   =   x y = 1  

=   2 x   +   1   -   3 x 2

Passo 3

Com a marginal calculada podemos calcular a distribuição condicional de Y | X   .

f Y | X y   =   f x , y f X x    

=   2 x + y - 3 x 2   +   2 x   +   1  

Resposta

2 x + y - 3 x 2   +   2 x   +   1  

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