USP probabilidade e estatística probabilidades PREC 2019
O tempo de vida de um componente elétrico é uma variável aleatória com distribuição uniforme entre , que corresponde a uma variância de Ao falhar, o componente é imediatamente substituído por outro do mesmo tipo. Dispõe-se de componentes iguais e independentes. Qual a probabilidade de que se ainda tenha em operação um componente depois de um total de horas de operação?
Passo 1
Fala pessoal, Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Dessa vez uma que usa o TCL (teorema central do limite) .
Esse enunciado é bem, grande então vamos olhar ele com calma e anotar as informações importantes.
Se indica o tempo de vida da i-ésima componente elétrica, então . E
Temos dessas componentes. Se a componente sendo utilizada quebra, ela é trocada instantaneamente por outra.
Queremos a probabilidade de ainda ter uma componente funcionando depois de horas de operação.
Passo 2
Temos bastante coisa para considerar, mas vamos aos poucos.
Primeiro vamos pensar quando que ainda temos uma componente funcionando depois de de operação. E aí, o que vocês acham?
Bem se todas as componentes falham antes de isso quer dizer que a soma de seus tempos de vida são menores que . Então para termos peças funcionando depois de a soma de seus tempos de vida tem que ser maior que . Dessa forma, o que queremos calcular é:
Passo 3
Bem, chegamos a conclusão que queremos calcular , mas como vamos fazer isso? Seria bom se tivesse uma forma de calcular a probabilidade da sima de várias variáveis aleatórias né? Opaaa, mas tem sim!! Temos o TCL.
O TCL dis o seguinte:
Sejam variáveis aleatórias então
Onde
Ou seja, temos uma forma de aproximar a nossa probabilidade de interesse utilizando uma normal padrão. Mas para isso precisamos calcular
Passo 4
Como foi falado no passo anterior, para usarmos o TCL, precisamos calcular , que no nosso caso .
Então vamos calcular essa esperança e variância
(pela linearidade da esperança)
(como ´s são iid)
Como , já é um resultado conhecido que sua esperança é o ponto médio do intervalo, ou seja,
Passo 5
Agora vamos calcular a nossa variância. É muita conta, mas já estamos acabando!
Então
(pela independência entre ´s )
(como ´s são iid)
(substituindo pelo valor dado no enunciado)
Passo 6
Agora Podemos, finalmente, calcular
Já estamos na etapa final, vamos lá.
Lembrando que definimos Temos:
(subtraindo a média)
(Dividindo pelo desvio padrão)
(usando o TCL)
Onde
Ao verificar uma tabela z, obtemos que
Finalmente acabamos!!!!
As questões que envolvem o TCL são grandinhas, mas quase todas são resolvidas da mesma forma que essa questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Bons estudos e até a próxima pessoal!!!