P2-2017/1 UFRJ Questão 3
Uma amostra aleatória de tamanho 16 de uma população normal com média µ e variância σ² resultou em e . Construa um intervalo de confiança de 95% para média populacional µ se a variância populacional
a) ;
b) não é conhecida.
Passo 1
a) ;
Cara, ele quer que a gente faça um intervalo de confiança de 95% para média, e temos que a variância populacional é conhecida.
Nesse caso, usaremos:
Pra calcular a média amostral, basta dividirmos o somatório de todos os nossos por . Logo, temos que:
Passo 2
Como vamos ter confiança de 95%, temos que:
E portanto, temos .
Nosso será . Basta irmos na tabela, e procurar qual valor de nos dá 0,975 de probabilidade. Olhando na nossa querida tabela normal, temos que .
Como a questão já nos deu a variância populacional, , temos .
Passo 3
Agora já podemos montar nosso intervalo de 95% de confiança para média populacional!
Logo, nosso intervalo é dado por:
Passo 4
b) não é conhecida.
Como agora a variância populacional não é conhecida, e temos , saímos da tabela normal e vamos para a t-student!
E aqui usaremos:
O primeiro passo é descobrirmos qual valor pegaremos na tabela t.
Continuamos com , portanto vamos procurar ! E esse valor na tabela é 2,131.
Passo 5
Outra coisa que precisamos descobrir é o nosso , ou seja, nosso desvio-padrão amostral. Faremos isso pela fórmula da variância amostral:
Passo 6
Agora que já temos todos os dados que precisávamos, vamos substituir na fórmula do intervalo de confiança e partir pro abraço!
Logo, temos que nosso intervalo com 95% de confiança é:
Resposta
a) [1,402; 1,598]
b) [1,395; 1,605]