Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

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Enunciado

Suponha que um professor do curso de engenharia, com objetivo de estudar o tempo, em anos, que os alunos levam para concluírem o curso, selecionou aleatoriamente 144 ex-alunos. Nessa amostra observou-se que a soma dos tempo gastos até a conclusão do curso foi de 750 anos e que a variância amostral teve valor 4 anos². Resolva os itens abaixo:

  1. Determine o intervalo de 96 % de confiança para a média do tempo que os alunos do curso de engenharia levam até concluírem o curso.
  2. Suponha que o professor resolvesse construir um intervalo de 99 % de confiança para essa média, mas com a mesma amplitude do intervalo obtido no item (a). Obtenha um valor aproximado para o novo tamanho amostral que seria necessário para construir tal intervalo.

Passo 1

(a)

Temos uma amostra de n = 144 alunos e a gente sabe que:

∑ i = 1 144 x i = 750

s ² = 4   a n o s ²

Onde:

x i → t e m p o s   g a s t o s ,   p o r   c a d a   a l u n o ,   a t é   c o n c l u i r   o   c u r s o

Daí a gente consegue tirar a média amostral do tempo gasto com o curso...

x ¯ = 750 144

≅ 5,208   a n o s

Passo 2

Vamos fazer um intervalo para a média com 96 % de confiança.

Como nesse caso não conhecemos σ , e sim s ... sabemos que estamos naquele caso em que temos que usar t   d e   s t u d e n t (se você não notou isso, dar uma olhadinha de novo no conteúdo, isso é muito importante).

Nesse caso, nosso intervalo tem a cara:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

Com:

d = t 1 - α 2 . s n

Passo 3

Falta a gente saber t 1 - α 2 .

Como n = 144 alunos, e isso é muito grande, podemos aproximar t   d e   s t u d e n t pela Normal. Show?

Então ao invés de calcular t 1 - α 2 , vamos calcular z 1 - α 2 .

Como o intervalo é de 96 % de confiança, então:

1 - α = 0,96 → α = 0,04

z 1 - α 2 = z 0,98

Olhando na tabela pelo valor de z que nos dá 0,98 ... temos:

z 0,98 = 2,05

Não sai calculando pela Normal não, diz que era pra usar t   d e   s t u d e n t , mas como o n é muito grande podemos aproximar. Fica mais bonito e você mostra que sabe!

Passo 4

Agora a gente monta o intervalo:

d = t 1 - α 2 . s n

d = 2,05 × 2 144

d ≅ 0 , 342

Daí:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

I C = 5,208 - 0,342   ; 5,208 + 0,342

I C = 4,866   ; 5,550

Passo 5

(b)

Pros intervalos terem a mesma amplitude, eles tem que ter o mesmo valor de d concorda?

É assim que a gente vai descobrir o n ...

d = 0,342

t 1 - α 2 . s n = 0,342

Só que agora o intervalo é de 99 % ... então:

t 1 - α 2 ≅ z 1 - α 2

1 - α = 0,99 → α = 0,01

z 1 - α 2 = z 0,995

z 0,995 ≅ 2,57

Passo 6

E aí a gente junta e descobre o n :

2,57 × 2 n = 0,342

n = 2,57 × 2 0,342

n ≅ 225,9

Como n não pode ser quebrado...

n = 226

Relaxa que seu valor pode dar um pouco diferente dependendo de quantas casas decimais você usou, não vai perder ponto por isso!

Resposta

a   I C = 4,866   ; 5,550

b   n = 226

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