Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

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Enunciado

Um revista publicou um artigo que descreve várias caracterésticas de bastões combustíveis usados em um reator pertencente a uma usina nuclear. Medidas da porcentagem de enriquecimento de 12 bastões foram reportados como segue:

2,94       2,75       2,75       2,81

2,90       2,90       2,82       2,95

3,00       2,95       3,00       3,05

Encontre um intervalo de confiança de 99% para o percentual médio de enriquecimento. Você concorda com a afirmação de que o percentual médio de enriquecimento é de 2,95%? Por quê?

Passo 1

Dados que a gente tem no problema:

n = 12   b a s t õ e s

Aí a gente tem as medidas de enriquecimento desses 12 bastões.

E queremos um intervalo de confiança para o percentual médio de enriquecimento, com confiança de 99%.

Tá, primeira coisa que a gente tem que observar é que a gente não conhece o valor de σ , concorda? Isso é muito importante pra calcularmos o I C .

Já que a gente não conhece σ , a gente sabe que nosso I C terá a seguinte cara:

I C = x ¯ - t 1 - α 2 ⋅ s n   ;   x ¯ + t 1 - α 2 ⋅ s n

Vamos ter que calcular cada um desses valores.

Passo 2

Como a gente tem as medidas dos 12 bastões da amostra, podemos calcular algumas coisas da amostra:

x ¯ = 2,94 + 2,75 + … + 3,00 + 3,05 12 = 2,90

s ² = 2,94 2 + 2,75 2 + … + 3 2 + 3,05 2 - 12 × 2,9 2 11

s ² = 0,02

s = 0,14

Passo 3

Como a confiança é de 99%:

1 - α = 0,99

α = 0,01

e...

t 1 - α 2 = z 0,995

Pra completar falta saber o número de graus de liberdade que será:

υ = n - 1 = 11

Agora olhando na tabela, cruzando a linha 11 com a coluna 0,995:

t 0,995 = 3,106

Passo 4

Podemos montar nosso intervalo agora:

L i n f = 2,9 - 3,106 × 0,14 12

L i n f ≅ 2,78

L s u p = 2,9 + 3,106 × 0,14 12

L s u p ≅ 3,02

Passo 5

O exercício pergunta se a gente concorda que a média seria 2,95%!

Bom, se você observar nosso intervalo de confiança, percebe que o 2,95 está dentro dele.

Então, concordamos que 2,95% possa ser o percentual médio de enriquecimento dos bastões, já que esse valor está dentro do intervalo de confiança de 99%.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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