Sabe-se que a altura dos indivíduos de uma certa população é Normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de tamanho 16, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a altura média populacional (em ).
- Forneça estimativas pontuais para a altura média e para o desvio padrão da altura.
- Qual seria o novo intervalo se a confiança exigida fosse 99%?
- Qual deveria ser o tamanho de uma nova amostra para que o novo intervalo tivesse a mesma amplitude do intervalo anterior, porém agora com 99% de confiança, supondo que o desvio padrão populacional seja igual a ?
Passo 1
(a)
A gente tem o intervalo de confiança dado já para a média populacional.
A gente sabe que o intervalo é assim:
Então:
Somando as duas equações:
Passo 2
Substituindo a gente encontra .
Sabendo que a gente não conhece , a gente saca que esse intervalo é com desconhecido, e que com isso, a fórmula de é:
Como .
Usando a tabela de com 15 graus de liberdade , encontramos que:
Substituindo os valores podemos encontrar a estimativa que a gente quer pro desvio padrão, que é o .
Passo 3
(b)
A gente sabe que o intervalo é:
E que:
Sabemos também que:
A única diferença é que agora:
que eu fiz usando a tabela .
Passo 4
Agora é só jogar na fórmula:
Nosso intervalo então será:
Passo 5
(c)
Agora temos que . Conhecendo podemos usar a Normal.
Temos também que:
Passo 6
A amplitude inicial que temos é e queremos mantê-la neste caso. Concorda comigo que a amplitude é igual a duas vezes o valor de ? Beleza, então:
Continua valendo que
Lembrando que agora podemos usar a Normal, já que conhecemos .
Substituindo os valores descobrimos o .