Exercícios Resolvidos de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

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Enunciado

Deseja-se estimar a concentração de uma determinada substância indesejada em uma amostra de um produto químico.Devido a imprecisões do aparelho utilizado, que induzem erros de medição supostos normalmente distribuídos, são realizadas diversas repetições do experimento, implicando na obtenção das medidas:

8 ,   80         10 ,   98         11 ,   48         13 ,   42         9 ,   61 ,

expressas na unidade de ppm (partes por milhão). A fim de concatenar tais estimativas em somente uma, mais precisa, o pesquisador considera a média amostral como uma estimativa da concentração da substância indesejada, e para estudar a qualidade da estimação ele considera intervalos de confiança. Para isso, faça o que se pede abaixo:

(b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média amostral, agora supondo σ desconhecido, ou seja, no caso em que a incerteza introduzida pelo equipamento de medição é desconhecida.

Passo 1

Letra b)

Agora bora calcular nosso IC para a média populacional com a desvio padrão populacional desconhecido. Muito parecido com o que a gente fez antes!

A fórmula dos limites do IC agora é essa:

I C =   x - - t 1 - α 2 × s n   ;   x - + t 1 - α 2 × s n

O nosso z da Normal virou um t de T de Student e nosso σ virou o desvio padrão amostral s !

Vamos calcular esse s então. Calculando a variância amostral s ² pela fórmula:

s 2 = ∑ x i 2 - ∑ x i 2 n n - 1 = 8,80 ² + 10,98 ² + 11,48 ² + 13,42 ² + 9,61 ² - ( 54,3 ) ² 5 4 = 3,2041

Então nosso desvio padrão amostral s :

s = 3,2041 = 1,79

Passo 2

Agora vamos calcular nosso t 1 - α 2 . A gente já sabe que 1 - α 2 = 0,975 , então queremos:

t 0,975

Mas na T de Student também precisamos do parâmetro grau de liberdade v , que vai ser:

v = n - 1 = 5 - 1 = 4

Procurando v = 4 e p = 0 , 975 na tabela, verificamos que:

t 0,975 = 2,776

Beleza, agora só resta juntar tudo na fórmula do IC:

I C =   x - - t 1 - α 2 × s n   ;   x - + t 1 - α 2 × s n =   10,86 - 2,776 × 1,79 5   ;   10,86 + 2,776 × 1,79 5

I C = ( 8,64   ; 13,08 )

Voilà! :D

Resposta

Letra b)

I C = ( 8,64   ; 13,08 )

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