UFAM - Cálculo II - Listas - Lista 1 - Questão 4c
Calcule os limites das funções vetoriais a seguir.
Passo 1
E aii, gente bonita! Talvez quando vocês leram essa questão, ficaram meio…
Maas, aqui juntos vamos deixar ela com uma carinha mais amigável. Bora??
Então bora!!
A questão quer que encontremos o limite da função vetorial quando o tende a . Pessoal a função vetorial nesse item está apenas escrito no formato de vetores unitários, mas o cálculo do limite se dá da mesma forma que nas demais alternativas. Assim, vamos lembrar um pouquinho daquela propriedade de soma de limites? O que temos é que, quando há soma dentro de um limite, o resultado sempre será a soma dos limites. Lembrem dessa frasesinha: o limite da soma é a soma dos limites!!
Sendo assim,
- limite da soma
- soma dos limites!!!
Agora vamos calcular cada um dos limites separadamente.
Passo 2
Vamos iniciar calculando o limite para a coordenada no eixo :
Vamos lembrar de mais uma propriedade super importante em limites: quando temos um limite de multiplicação por uma constante, a constante sempre estará multiplicando todo o limite. Assim, podemos colocar i da seguinte forma:
Além disso, podemos ver que temos um limite exponencial, em que nossa variável t está no expoente. Como ela tende a 0, vamos substituir t por 0 no nosso próximo passo:
Show, agora, só falta uma sacadinha aqui. Qualquer coisinha que elevarmos por 0, será sempre 1. Pode ser um número, uma variável, uma árvore hahahaha. Se estiver elevado a 0, teremos como resultado, o valor 1. Então, temos aqui que:
Logo, concluímos que nossa primeira parte da somatória do limite equivale a:
Beleza, bora pra nossa segunda parte da soma ali em cima!
Passo 3
Calculando o segundo limite que se refere a coordenada da função para o eixo , temos que:
Meu povo, aqui, como podemos ver, é bem parecido com a primeira parte lá da nossa soma. Temos uma constante j multiplicando, então ela irá multiplicar o limite tooodo:
Agora vamos fazer o cálculo em que t tende a 0, ou seja, substituir t por 0:
Hmm, espera aí… vamos ver como fica isso:
Encontramos uma indeterminação!!! Precisamos resolver essa indeterminação da mesma forma que resolvemos no cálculo 1.
Utilizaremos a Regra de L’Hôpital para nos auxiliar a resolver a indeterminação. A Regra de L’Hôpital diz:
Sendo assim, precisamos encontrar a derivada de e de , já que queremos calcular o seguinte limite (e que já sabemos que dá uma indeterminação):
Precisamos lembrar uma relação trigonométrica super fundamental para entendermos essa questão:
Então, nossa equação vai ficar com essa carinha aqui:
Aplicando agora a Regra de L’Hôpital:
Precisamos encontrar a derivada de e , belezinha?
Temos, então,
Só pra lembrar direitinho, utilizamos aqui aquela regrinha de tombar o expoente (para ) e a regra da cadeia para a derivada trigonométrica, show?
Então, ficamos com essa equaçãozinha aqui:
Precisaremos aplicar a regra de L’Hôpital novamente uma vez que obtemos outra indeterminação. Logo,
Aqui, a gente usa os mesmos parâmetros que utilizamos para chegar até aqui. Então, temos:
Substituindo por , já que nossa variável tende a :
Show, encontramos, então:
Passo 4
Vamos agora resolver o terceiro limite, limite esse que se refere a variação da coordenada quando se aproxima de zero.
Retirando a constante do limite:
Substituindo ,
Como , temos que
Show, encontramos os três limites que separamos ali em cima no passo 1 na soma, beleza?
Passo 5
Conclui-se que o .
Consegui te ajudar??? Espero que sim!
Beijinhos e bons estudos! :)