Calcule os limites.
Passo 1
Beleza, pessoal, o exercício quer que a gente calcule o limite desse cara enorme que tem um , um e um esquisitos. Como a gente faz isso e o que são essas letras , e ?
Essas três letras são usadas para mostrar que a função vetorial abaixo tem três componentes diferentes (uma para cada letra).
Para a gente organizar nossa resolução, o primeiro passo é dar um nome diferente para cada componente.
Agora fica mais fácil de entender o que é calcular o limite da função vetorial.
Pra isso, vamos calcular separadamente os limites de cada componente , e .
Vamos fazer isso no próximo passo!
Passo 2
Nesse passo, vamos tentar calcular o limite de .
O primeiro passo para calcular qualquer limite é substituir pela tendência de . A tendência de é . Logo, vamos substituir por em .
Opa! Deu um problema nessa conta aí!
Ao substituir por diretamente obtemos uma divisão de zero por zero. E não podemos calcular, pois ela é uma indeterminação!
Sempre que temos uma indeterminação desse tipo podemos usar a regra de L’Hôpital.
No próximo passo nós vamos entender melhor o que é essa regra.
Passo 3
A regra do L’Hôpital diz que, para sair dessa indeterminação, podemos fazer as derivadas do numerador e o denominador da fração e depois aplicar limite na nova fração encontrada!
Para , é o numerador e o denominador.
Logo, temos que responder as seguintes perguntas: Quem são suas derivadas?
Vamos começar calculando a derivada do numerador. Para isso, temos que lembrar que podemos derivar uma subtração, derivando cada termo separadamente.
Para derivar temos que usar a regra do peteleco. Nessa regra, o expoente de cai e deixa no seu lugar um expoente que vale ele mesmo menos 1.
Além disso, a derivada do sozinho vale .
Assim nós encontramos a derivada do numerador!
Agora vamos derivar o denominador . Aqui também podemos fazer a derivada de cada termo separadamente.
Como a derivada de constante vale zero, a derivada de é igual a zero.
E temos novamente a derivada de sozinho que sempre vale !
Substituindo isso, descobrimos a derivada do denominador.
Depois de derivar o numerador e o denominador o limite de fica:
Agora sim podemos substituir por com segurança!
Isso significa que o limite do primeiro componente é igual a !
Vamos descobrir quanto vale o limite de no próximo passo.
Passo 4
O limite de pode ser calulado, substituindo pela sua tendência que vale .
O limite de vale .
Essa foi mais fácil!
Vamos para o próximo passo que é calcular o limite de .
Passo 5
Primeiro, vamos tentar calcular o limite de , substituindo pela sua tendência que vale .
vale zero e também vale zero.
Ou seja, substituir por diretamente gera uma indeterminação. Isso quer dizer que precisamos usar a regra de L’Hôpital e derivar o numerador e o denominador do limite novamente.
No passo seguinte a gente aplica essa regra!
Passo 6
Agora vamos partir para o numerador que é igual a !
A derivada de nós conseguimos calcular tranquilo. Ela é igual a . Mas quanto vale a derivada de ? Para ficar mais fácil de responder, vamos chamar de .
Repara que temos uma função dentro da outra, por isso para calcular a derivada de , temos que usar a regra da cadeia.
Essa regra diz que a derivada de é igual a derivada da função de fora, vezes a derivada da de dentro.
é a uma derivada que a gente calcula normalmente. Temos a derivada do seno que é o cosseno
Substituindo por novamente:
Essa foi a de fora.
Agora a de dentro, . Como a constante não interfere na derivada, podemos tirar ela da derivada.
A derivada de sozinho vale ! Substituindo isso, achamos:
Agora podemos calcular a derivada de pela regra da cadeia.
Enfim, podemos calcular o limite de .
Agora vamos calcular a derivada do denominador de que é igual a .
A derivada de é sempre igual a .
Pronto! Já calculamos a derivada do numerador e do denominador.
Nesse limite, temos a divisão de pela fração . Dividir por uma fração é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso da fração. Como o inverso de vale :
Aplicando o limiete e substituindo por , achamos:
Lembrando que , achamos:
Ou seja, o limite de vale .
Achamos os limites de todas as componentes da função vetorial.
No próximos passo, vamos mostrar como devemos expor o resultado do cálculo do limite de funções vetoriais.
Passo 7
Para mostrar o resultado de cáclulo de limite de uma função vetorial de uma forma organizada, usamos as letras , e para separar os três componentes. é a componente que fica junto com . é o componente que fica junto com e é o componente que fica junto com . Ou seja:
Agora sim terminamos o exercício! Foi longo, mas valeu a pena!
Passo 8
Desta forma: