Calcule os limites.
Passo 1
Galera, pra calcular o limite de uma função vetorial, podemos tomar individualmente o limite de cada uma das funções componentes. Então para a primeira:
Como
Eita, caímos em uma indeterminação. Então vamos usar L’Hôpital, derivando em cima e embaixo e depois reaplicando o limite:
A derivada do numerador é:
E a do numerador:
Assim, nosso limites se torna:
Essa foi, agora as próximas.
Passo 2
Continuando, temos a segunda componente para aplicar o limite:
Opa, novamente uma indeterminação. Aqui o L´Hôpital vai nos dar muito trabalho, então vamos tentar outra coisa.
Vemos que há uma raiz quandrada ali, então vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado do numerador. O conjugado é a mesma expressão mas com o sinal trocado. Assim o conjugado de é . Então:
Perceba que no numerador temos a multiplicação da soma pela diferença de e . Isso é um produto notável, que nós dá uma diferenção de quadrados do tipo:
Assim, nosso numerador ficará:
Podemos cortar o quadrado com a raiz ficando com
e nosso limite se transforma em:
Agora cortamos o de cima com o de baixo:
Já melhorou bastante, então vamos aplicar o limite fazendo
Prontino, essa também já foi. Agora vamos para a úlitima.
Passo 3
Vamos aplicar nosso limite diretamente:
Essa foi mais tranquila. Ufa!
Show! Concluímos que: