UnB; Introdução a Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 27a
27) Considere as matrizes:
Encontre matrizes elementares e tais que:
(a)
Passo 1
Fala tchurmaa, como vocês estão? Tudo bem, tudo ótimo? Espero que sim porque se não estiver, agora vai ficar, com essa questãozinha maravilhosa que vamos resolver juntinhos. Vamos que vamos?
Avaliando o nosso item a, podemos fazer a seguinte manipulação:
Parece que resolvemos o nosso problema, não é?
Mas na verdade, esse exercício não é tão simples quanto parece. Quando falamos de matrizes, essa é uma operação que não é definida. Pelo menos não diretamente. Uma forma de resolvermos essa divisão é com a seguinte multiplicação:
Bacana, mas agora ficou pior ainda... O que significa ?
Essa é a matriz inversa de . E veja, matriz inversa é completamente diferente de matriz transposta.
Uma matriz inversa nada mais é uma matriz que, quando multiplicada pela sua original, resulta em uma matriz identidade.
Nos próximos passos, então, vamos ver como encontrar a matriz inversa para que possamos calcular a nossa .
Passo 2
Nós faremos uma matriz mista entre a nossa matriz e uma matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).
Ficando assim:
A partir deste ponto, faremos manipulações de matrizes elementares, ou seja, alteraremos ambas as matrizes da mesma forma, com uma das três substituições possíveis. O nosso objetivo aqui é deixar a matriz do lado esquerdo como uma matriz identidade. Já a parte do lado direito será exatamente a nossa matriz inversa!
Antes de continuar, vamos relembrar quais são as substituições possíveis para as matrizes elementares.
Em resumo, podemos fazer as seguintes mudanças:
Podemos trocar uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna).
Ou podemos multiplicar uma linha (ou coluna) por um valor ;
E quando somamos uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor , com outra linha (ou coluna.)
Passo 3
Além disso, precisamos sempre definir um foco e alvos dentro da matriz. O foco sempre será um valor (desejável que seja ) que usaremos como referência para as nossas substituições e os focos serão os valores que desejamos alterar para .
Resolvendo o exercício esse conceito ficará mais fácil de ser entendido. Então, vamos nessa!
(Obs.: lembre-se que tudo que for alterado na parte esquerda da matriz mista deve ser alterada na parte direita).
O nome desse método que utilizaremos é Eliminação de Gauss-Jordan.
Portanto, vamos começar com:
Então:
Esse número que apareceu no primeiro elemento da matriz será o nosso foco. Já os valores abaixo da diagonal principal serão os nossos primeiros alvos.
Relembrando que nossa intenção será sempre criar uma matriz identidade à esquerda.
Passo 4
Agora faremos as seguintes substituições:
Então:
Agora faremos a seguinte substituição:
Então:
Agora faremos a seguinte substituição:
Então:
Agora faremos a seguinte substituição:
Então:
Passo 5
Como já fizemos todos os elementos abaixo da diagonal principal (na parte esquerda) se tornarem iguais a , vamos usar o último elemento da matriz como foco e vamos alterar os elementos acima da diagonal principal.
Ou seja:
Então:
E por fim faremos a seguinte substituição:
Então:
Ufa, encontramos a nossa inversa:
Passo 6
Finalmente poderemos encontrar .
Como definimos que:
Então:
Resolvendo o produto:
Executando as multiplicações e somas encontraremos:
Essa matriz é elementar! Encontramos a solução do exercício!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
