UnB; Introdução a Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 25
25) Quais das seguintes matrizes são elementares:
Passo 1
Opa pessoal, tudo bom?
Antes de você surtar lendo essa questão, vamos juntos fazer ela com calma, belezinha??
Para começar, vamos definir o que é uma matriz elementar.
Uma matriz é denominada como elementar se for obtida por meio de uma única mudança na matriz identidade.
Bacana, mas quais seriam essas mudanças possíveis?
Em resumo, podemos fazer as seguintes mudanças:
Podemos trocar uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna).
Ou podemos multiplicar uma linha (ou coluna) por um valor ;
E quando somamos uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor , com outra linha (ou coluna.)
Passo 2
Sabendo disso, vamos olhar a primeira matriz:
Como queremos saber se a matriz é elementar, temos que partir da matriz identidade:
Agora vamos procurar alguma substituição para essa matriz (conforme as três condições que relembramos no Passo 1).
Por exemplo, podemos trocar a linha 2 pela linha 2 mais a linha 1 vezes .
Em outras palavras, temos que:
Essa substituição é exatamente o que temos na nossa terceira condição.
E a matriz que resulta dessa operação é:
Então:
Portanto, essa matriz é elementar!
Passo 3
Vamos, agora, olhar para a segunda matriz:
Da mesma forma, temos que partir da matriz identidade:
Para esse caso, vamos multiplicar a segunda coluna por . Essa é a segunda substituição que apontamos no Passo 1. Portanto:
Vamos realizar a operação:
O resultado desse produto é:
Portanto, essa matriz é elementar!
Passo 4
Nesse passo, olharemos para a terceira matriz:
Mais uma vez, partiremos da matriz identidade:
Aqui cabe a terceira substituição que apontamos no Passo 1 e que já usamos no Passo 2. Podemos trocar a terceira coluna pela terceira coluna mais a segunda coluna vezes .
Onde podemos reescrever como:
E a matriz que resulta dessa operação é:
Então:
Outra vez, a matriz é elementar!
Passo 5
Por fim, vamos avaliar a quarta matriz:
Para finalizar, vamos iniciar pela matriz identidade:
Veja que se substituirmos a primeira linha pela terceira linha, teremos a primeira condição do Passo 1. Então:
Realizando a operação:
A matriz é elementar!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
Resposta no desenvolvimento acima.