UnB; Introdução a Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 23b
23) (b) Encontre uma matriz não-nula de tamanho tal que .
Passo 1
Oieee, galera linda do Responde Aí. Tudo bem por aí?
Eu não quero ninguém aqui assim:
Quero todo mundo felizãaao, ainda mais depois de resolvermos mais essa! Bora lá então.
Esse exercício nos pede uma matriz não nula com tamanho (3 linhas e 3 colunas). Sendo que quando encontramos a transposta dessa matriz, temos a mesma matriz inicial, porém multiplicada por .
Parece confuso, não é? Mas calma! Esse exercício não tem segredo.
Vamos usar o conceito de diagonal principal, termos acima e termos abaixo da diagonal principal para encontrarmos essas matrizes.
Passo 2
Vamos considerar a seguinte matriz:
O primeiro ponto a observarmos é que a diagonal principal não muda quando fazemos a sua transposição. Então, como precisamos do valor original multiplicado por seja igual ao valor original, o único valor que podemos adotar é . Ou seja, se transpormos a matriz e multiplicarmos por , ainda teremos .
Então:
Passo 3
Olhando para os termos acima da diagonal principal, vamos definir alguns valores:
Agora, para os termos abaixo da diagonal principal, precisamos colocar os valores aplicados anteriormente (acima da diagonal principal), porém multiplicados por . Ficará “simétrico”, porém com o sinal invertido:
Para esse tipo de matriz, damos o nome de Anti-simétrica.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a Matriz Transposta para verificarmos se aconteceu o que esperamos:
Perfeito, exatamente o que gostaríamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
Resposta no desenvolvimento acima.