Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

Sabendo que foram usadas as seguintes operações elementares para escalonar totalmente uma matriz A 3 × 3 :

L 2 ← L 2 - 2 L 1

L 3 ← L 3 - 2 L 1

L 3 ↔ L 2

L 3 ← - L 3

L 2 ← L 2 + L 1

L 1 ← L 1 - L 3

Ache a matriz A .

Passo 1

O que sabemos até agora é que aplicamos essas 6 operações elementares em uma matriz A e como consequência obtivemos a matriz identidade, já que foi totalmente escalonada.

E 6 E 5 E 4 E 3 E 2 E 1 ⋅ A = I

Como queremos saber quem é a matriz A , vamos isolá-la:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1 ⋅ I

Como a matriz identidade não altera nada:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1

Sendo assim, basta inverter as matrizes elementares e depois multiplicá-las na ordem apresentada!

Passo 2

Tá, então agora vamos montar as matrizes elementares:

E 1 = 1 0 0 - 2 1 0 0 0 1

E 2 = 1 0 0 0 1 0 - 2 0 1

E 3 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

E 4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

E 5 = 1 0 0 1 1 0 0 0 1

E 6 = 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Agora que já temos as matrizes elementares, vamos inverter as matrizes:

E 1 - 1 = 1 0 0 2 1 0 0 0 1

E 2 - 1 = 1 0 0 0 1 0 2 0 1

E 3 - 1 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

E 4 - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

E 5 - 1 = 1 0 0 - 1 1 0 0 0 1

E 6 - 1 = 1 0 1 0 1 0 0 0 1

Agora é só multiplicar as matrizes:

A = E 1 - 1 E 2 - 1 E 3 - 1 E 4 - 1 E 5 - 1 E 6 - 1 = 1 0 1 2 0 1 1 1 1

Resposta

A = 1 0 1 2 0 1 1 1 1

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