UnB; Introdução à Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 40a
40) Uma matriz quadrada é chamada anti-simétrica se . Prove:
(a) Se é uma matriz anti-simétrica invertível, então é anti-simétrica.
Passo 1
Oi pessoal, como vão?? Me contaram aqui que vocês estão suuuper animados com essa resolução, felizes pra caramba, como nunca estiveram!!
Não quero saber de desânimo!! Bora transformar ela em algo legal e mais atrativo? hahahaha a gente consegue, acreditem!! Bora lá!!
O enunciado nos dá que é uma matriz anti-simétrica, e que esta é invertível.
Além disso, ele nos afirma também que uma matriz é anti-simétrica se , ou seja, se a sua transposta é igual a matriz oposta.
Agora, precisamos utilizar essa informação, para provar que é anti-simétrica.
Mas como vamos fazer isso?
Vamos começar fazendo algumas análises.
Passo 2
Nós já sabemos que é uma matriz anti-simétrica.
Além disso, tomando que é a inversa da matriz , temos como uma propriedade das inversas que a matriz transposta de uma matriz inversa, também é inversa:
Então, se a matriz é anti-simétrica e a matriz transposta da matriz inversa de também é inversa, temos que é anti-simétrica!
Uhul!! Terminamos pessoal!
Bora lá pra próxima então?