Exercícios Resolvidos de Matrizes Elementares

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Enunciado

24) Uma matriz quadrada é dita simétrica se A T = A e anti-simétrica se A T = - A . Mostre que se B é uma matriz quadrada, então:

(a) B B T e B + B T são simétricas.

Passo 1

Oieee, galera linda do Responde Aí. Tudo bem por aí?

Eu não quero ninguém aqui assim:

Quero todo mundo felizãaao, ainda mais depois de resolvermos mais essa! Bora lá então.

Para começar, vamos desenhar uma matriz quadrada 2   x   2 qualquer para conseguirmos visualizar o que nos pede o exercício.

B = 1 2 3 4

Agora, vamos considerar B B T :

Vejam que precisamos encontrar B T , que é a matriz transposta de B .

Então:

B T = 1 3 2 4

Passo 2

Agora faremos o produto entre B e B T :

1 2 3 4 * 1 3 2 4 = 1 * 1 + 2 * 2 1 * 3 + 2 * 4 3 * 1 + 4 * 2 3 * 3 + 4 * 4

= 1 + 4 3 + 8 3 + 8 9 + 16

= 5 11 11 25

Veja que essa matriz é simétrica, já que os termos abaixo e acima da diagonal principal são os mesmos tanto em valor quanto em posição.

Apesar de termos usados uma matriz quadrada 2   x   2 , esse conceito serve para qualquer matriz quadrada, indiferente do seu tamanho.

Passo 3

Agora vamos olhar para B + B T . Essa é uma soma entre a matriz B e sua transposta B T .

Como já conhecemos a nossa matriz transposta, podemos realizar a soma:

1 2 3 4 + 1 3 2 4 = 1 + 1 3 + 2 2 + 3 4 + 4

O resultado é:

2 5 5 8

Assim como no caso anterior a nossa matriz é simétrica, já que os termos acima e abaixo da diagonal principal são iguais. Bem como nessa matriz 2   x   2 , isso ocorrerá em qualquer matriz quadrada.

Perfeito, exatamente o que gostaríamos de provar!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Resposta no desenvolvimento acima.

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