UnB; Introdução a Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 24a
24) Uma matriz quadrada é dita simétrica se e anti-simétrica se . Mostre que se é uma matriz quadrada, então:
(a) e são simétricas.
Passo 1
Oieee, galera linda do Responde Aí. Tudo bem por aí?
Eu não quero ninguém aqui assim:
Quero todo mundo felizãaao, ainda mais depois de resolvermos mais essa! Bora lá então.
Para começar, vamos desenhar uma matriz quadrada qualquer para conseguirmos visualizar o que nos pede o exercício.
Agora, vamos considerar :
Vejam que precisamos encontrar , que é a matriz transposta de .
Então:
Passo 2
Agora faremos o produto entre e :
Veja que essa matriz é simétrica, já que os termos abaixo e acima da diagonal principal são os mesmos tanto em valor quanto em posição.
Apesar de termos usados uma matriz quadrada , esse conceito serve para qualquer matriz quadrada, indiferente do seu tamanho.
Passo 3
Agora vamos olhar para . Essa é uma soma entre a matriz e sua transposta .
Como já conhecemos a nossa matriz transposta, podemos realizar a soma:
O resultado é:
Assim como no caso anterior a nossa matriz é simétrica, já que os termos acima e abaixo da diagonal principal são iguais. Bem como nessa matriz , isso ocorrerá em qualquer matriz quadrada.
Perfeito, exatamente o que gostaríamos de provar!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
Resposta no desenvolvimento acima.