UnB; Introdução a Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 26
26) Encontre uma operação sobre as linhas que retorne a matriz elementar dada a uma matriz identidade.
Passo 1
Opa pessoal, tudo bom?
Antes de você surtar lendo essa questão, vamos juntos fazer ela com calma, belezinha??
Para começar, vamos definir o que é uma matriz elementar.
Uma matriz é denominada como elementar se for obtida por meio de uma única mudança na matriz identidade.
Bacana, mas quais seriam essas mudanças possíveis?
Em resumo, podemos fazer as seguintes mudanças:
Podemos trocar uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna).
Ou podemos multiplicar uma linha (ou coluna) por um valor ;
E quando somamos uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor , com outra linha (ou coluna.)
Passo 2
Agora que definimos as matrizes elementares, vamos partir para o que pede o nosso exercício. Para cada matriz, temos que definir qual foi a mudança realizada, seguindo essas três possibilidades que encontramos no Passo 1.
Para a primeira matriz:
Podemos ver que a segunda linha foi substituída pela segunda linha mais a primeira linha vezes . Em termos técnicos, dizemos que:
Essa substituição atende exatamente a terceira condição que vimos no Passo 1.
Definimos a primeira operação.
Passo 3
Agora, a segunda matriz:
Podemos ver que a terceira linha foi substituída pela própria terceira linha vezes .
Em termos técnicos, dizemos que:
Essa substituição atende exatamente a primeira condição que vimos no Passo 1.
Definimos a segunda operação.
Passo 4
Agora, a terceira matriz:
Podemos ver que a primeira e a quarta linha estão trocadas para que se forme a matriz identidade.
Então, em termos técnicos, dizemos que:
Essa substituição atende exatamente a primeira condição do Passo 1.
E essa foi a última operação.
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
Resposta no desenvolvimento acima.