UnB; Introdução a Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 20
20) Mostre que se uma matriz quadrada satisfaz , então .
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês?
Bora lá resolver mais uma questão!!
No primeiro passo vamos entender o que o exercício nos pede. Considerando uma matriz quadrada genérica, que obedece a seguinte equação:
Precisamos realizar as operações e determinar se a igualdade abaixo é correta:
Apesar de ser um exercício clássico de matrizes, não utilizaremos elas de fato, apenas faremos algumas manipulações matemáticas para certificarmos a afirmação do enunciado.
Passo 2
A partir de agora, vamos olhar para
Podemos reorganizar da seguinte maneira:
Podemos colocar em evidência:
Obs.: Detalhe para quando tiramos de . Nessa divisão temos por propriedade o aparecimento de .
Agora podemos inserir nos dois lados da equação:
Passo 3
Temos um caso interessante aqui!
Percebemos do lado direito da equação o produto entre e . Isso é o produto entre uma matriz e sua inversa e o resultado sempre será uma matriz identidade.
Então:
Como multiplicar por é o mesmo que multiplicar por (ou seja, é o elemento neutro multiplicativo das matrizes), temos:
Bacana, né?
Isso significa que a proposição dada pelo enunciado é verdadeira!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
Resposta no texto.