UnB; Introdução a Álgebra Linear; 1ª Lista de Exercícios – Turma E; Exercício 27d
27) Considere as matrizes:
Encontre matrizes elementares e tais que:
(d)
Passo 1
Alooo, é aqui que temos alunos aplicadíssimos e animados com essa questão??
Ebaa, é sim!! Vamos então…
Avaliando o nosso item d, podemos fazer a seguinte manipulação:
Parece que resolvemos o nosso problema, não é?
Mas na verdade, esse exercício não é tão simples quanto parece. Quando falamos de matrizes, essa é uma operação que não é definida. Pelo menos não diretamente. Uma forma de resolvermos essa divisão é com a seguinte multiplicação:
Bacana, mas agora ficou pior ainda... O que significa ?
Essa é a matriz inversa de . E veja, matriz inversa é completamente diferente de matriz transposta.
Uma matriz inversa nada mais é uma matriz que, quando multiplicada pela sua original, resulta em uma matriz identidade.
Nos próximos passos, então, vamos ver como encontrar a matriz inversa para que possamos calcular a nossa .
Passo 2
Nós faremos uma matriz mista entre a nossa matriz e uma matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).
Ficando assim:
A partir deste ponto, faremos manipulações de matrizes elementares, ou seja, alteraremos ambas as matrizes da mesma forma, com uma das três substituições possíveis. O nosso objetivo aqui é deixar a matriz do lado esquerdo como uma matriz identidade. Já a parte do lado direito será exatamente a nossa matriz inversa!
Antes de continuar, vamos relembrar quais são as substituições possíveis para as matrizes elementares.
Em resumo, podemos fazer as seguintes mudanças:
Podemos trocar uma linha (ou coluna) por outra linha (ou coluna).
Ou podemos multiplicar uma linha (ou coluna) por um valor ;
E quando somamos uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valor , com outra linha (ou coluna.)
Passo 3
Além disso, precisamos sempre definir um foco e alvos dentro da matriz. O foco sempre será um valor (desejável que seja ) que usaremos como referência para as nossas substituições e os focos serão os valores que desejamos alterar para .
Resolvendo o exercício esse conceito ficará mais fácil de ser entendido. Então, vamos nessa!
(Obs.: lembre-se que tudo que for alterado na parte esquerda da matriz mista deve ser alterada na parte direita).
O nome desse método que utilizaremos é Eliminação de Gauss-Jordan.
Portanto, vamos começar com:
Então:
Esse número que apareceu no primeiro elemento da matriz será o nosso foco. Já os valores abaixo da diagonal principal serão os nossos primeiros alvos.
Relembrando que nossa intenção será sempre criar uma matriz identidade à esquerda.
Passo 4
Agora faremos as seguintes substituições:
Então:
Agora faremos a seguinte substituição:
Então:
Agora faremos a seguinte substituição:
Então:
Agora faremos a seguinte substituição:
Então:
Passo 5
Como já fizemos todos os elementos abaixo da diagonal principal (na parte esquerda) se tornarem iguais a , vamos usar o último elemento da matriz como foco e vamos alterar os elementos acima da diagonal principal.
Ou seja:
Então:
E por fim faremos a seguinte substituição:
Então:
Ufa, encontramos a nossa inversa:
Passo 6
Finalmente poderemos encontrar .
Como definimos que:
Então:
Resolvendo o produto:
Executando as multiplicações e somas encontraremos:
Essa matriz é elementar! Encontramos a solução do exercício!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
