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Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Exercício 2012345678910111213141516171819212223

Enunciado

Considere as afirmativas:

(I) Se as colunas da matriz A de formato n × k formam um conjunto ortonormal, então k ≤ n .

(II) Sejam { u 1 , u 2 } ⊂ H e { v 1 , v 2 , v 3 } ⊂ H ⊥ , onde H ⊂ R n . Então { u 1 , u 2 , v 1 , v 2 , v 3 } é um conjunto ortogonal.

(a) (I) e (II) são falsas.

(b) (I) e (II) são verdadeiras.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

(a) Pra essa afirmação ser falsa, temos que achar pelo menos uma matriz com mais colunas do que linhas que tenha colunas formando um conjunto ortonormal.

Então vamos pensar!

Se pegarmos uma matriz 2 × 2 , por exemplo:

Então suas colunas formam um conjunto ortonormal, certo??

Beleza, vamos tentar aumentar o número de colunas dela.

Agora ela é uma matriz 2 × 3 , ou seja, com mais colunas do que linhas.

Repara que não tem como a gente criar outro vetor ( * , * ) que seja ortogonal aos dois vetores ( 1,0 ) e ( 0,1 ) simultaneamente.

Por isso, a afirmação (I) é verdadeira.

Passo 2

(II) Para o conjunto { u 1 , u 2 , v 1 , v 2 , v 3 } ser ortogonal, então:

u i , u j = 0   p a r a   t o d o   i ≠ j

Mas se a gente faz:  

u 1 , u 2

Isso não necessariamente vai dar 0, pois estamos fazendo produto interno entre dois vetores que pertencem ao mesmo espaço, e aí eles podem ou não ser ortogonais.

Logo, a afirmação (II) é falsa.

Resposta

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

Exercícios de Livros Relacionados

6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3