Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

Em um espaço com e , o produto interno é definido como .

Nesse espaço, é dada a base

Dê os valores de e para que a base seja ortogonal.

Passo 1

Para que essa base seja ortogonal, o produto interno, dado no enunciado, entre os vetores dois a dois deve ser sempre 0.

Então, a gente vai calcular cada produto interno e igualar a 0 para acharmos os valores de e beleza?

Passo 2

Primeiro vamos calcular o produto interno entre e :

Opa, já encontramos o valor de :D

Agora vamos calcular o produto interno entre e :

Aí simmm, já encontramos também!!

E aí, acabou?

Nananinanão, vamos calcular o produto interno entre e com os valores encontrados para e e ver se de fato esses dois também são ortogonais:

Boaa, o produto interno deu como esperado!!

Então, com e temos que a base é ortogonal no espaço dado :P

Resposta

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6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2

7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,

Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3