Considere os vetores de cujas coordenadas na base canônica são
E o subespaço vetorial de gerado por estes vetores.
c) Determine uma base de tal que os vetores da base sejam unitários e verifiquem as seguintes propriedades:
- é paralelo a
- pertence ao plano gerado pelos vetores e e é perpendicular a
- é perpendicular aos vetores e .
Passo 1
c) Mano, repara um negócio: as 3 condições dadas pelo enunciado nos mostram que os vetores são perpendiculares :O Além disso, o enunciado também fala que todos eles devem ser unitários, ou seja, ter norma 1!!
O que vamos fazer aqui é encontrar uma base que seja ortogonal, ou seja, que os 3 vetores sejam perpendiculares entre si. Tendo essa base ortogonal, vamos achar a norma de cada um dos 3 vetores e dividir cada um deles pela sua respectiva norma, e aí teremos normalizado nossa base e chegaremos em .
Então antes de começarmos: quando estivermos fazendo , é só pra estudarmos a direção e sentido dos vetores, aí depois que normalizarmos, podemos chamar de , que é a base que queremos ;)
Passo 2
Como é paralelo a , o primeiro vetor da nossa base ortogonal (mas não normalizada) vai ser .
A segunda condição diz, sobre a direção de , que ele deve pertencer ao plano que, como vimos no item anterior, tem vetor normal . Se ele está contido nesse plano, ele é ortogonal a esse vetor normal concorda? Essa condição também diz que é perpendicular a .
Se é perpendicular a e a , ele pode ser escrito como o produto vetorial:
Passo 3
Por último, temos que é perpendicular aos dois outros vetores. Então, podemos escrever como o produto vetorial:
Dividindo por (teremos o mesmo vetor, só estamos mudando seu módulo ok?)
Fechouzasso, agora temos uma base ortogonal .
Agora é só normalizar essa base pra encontrarmos a base que tanto queremos :P
Passo 4
Vamos encontrar a norma de cada vetor da base .
Usando a fórmula de norma de vetores:
Passo 5
Agora é só dividirmos cada vetor de pela sua respectiva norma e aí teremos a base ortonormal, ou seja, com os 3 vetores sendo ortogonais entre si e tendo norma 1 ;)
Então, nossa querida base é:
Resposta
c)