Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

A3 T6

Uma matriz é dita ortogonal se a sua matriz inversa é igual a sua matriz transposta. A matriz é:

simétrica e invertível, mas não é ortogonal

simétrica, invertível e ortogonal

ortogonal e invertível, mas não é simétrica

simétrica, mas não é ortogonal e nem é invertível

Passo 1

Bom, numa olhada rápida já dá pra ver que a matriz é simétrica né? Beleza.

Vamos ver a questão de ser ortogonal ou não. Uma das formas de vermos se a matriz é ortogonal é vermos se suas colunas formam um conjunto ortonormal. Ou seja, o conjunto

é ortonormal?

Bom, todos os vetores têm norma igual a . Precisamos saber então se são ortogonais:

Opa, eles não são ortogonais, então o conjunto não é ortonormal e essa matriz não é ortogonal haha.

Sabemos que ela é simétrica, mas não é ortogonal. Falta vermos se é invertível. Para isso vamos escalonar ela. Ou melhor, para facilitar nossa vida, vamos escalonar ela multiplicada por ! Porque multiplicar uma matriz por um escalar não vai mudar o fato de ela ser invertível ou não ;P

Pronto. Escalonamos a matriz e não encontramos nenhuma linha de zeros! Então ela é invertível!

Logo, nossa matriz é simétrica e invertível, mas não é ortogonal.

Resposta

Letra

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6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2

7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,

Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3