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Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, P1-2018, Questão 06

06) Considere em P 2 R , o produto interno definido por:

< p , q >   = p 0 q 0 + p 1 q 1 + p 2 q 2 .

Considere o subespaço S = [ t - 1 ,   t 2 - 1 ] de P 2 ( R ) e o polinômio f = t 2 + t + 1 . Se g = a t 2 + b t + c , em que a ,   b ,   c ∈ R , é o elemento de S que satisfaz d f , g < d ( f , h ) , para todo h ∈ S , h ≠ g , então a - b - c é igual a:

A) 5

B) - 3

C) - 13

D) - 1

E) 8

Passo 1

Faaala galerinha! Tudo tranquilo com vocês?

Essa questão é bem interessante. Vê, basicamente a gente tem um subespaço S de polinômios reais do 2 ° grau, P 2 ( R ) , cuja base ortogonal vale [ t - 1 ,   t 2 - 1 ] . Nesse subespaço o produto interno é definido como:

< p , q >   = p 0 q 0 + p 1 q 1 + p 2 q 2

Daí, sendo g = a t 2 + b t + c um elemento de S e f =   t 2 + t + 1 um polinômio P 2 , é perguntado qual o valor de a - b - c sabendo que d f , g < d ( f , h ) para todo h pertencente a S . Eaí, pra onde é que a gente vai nesse trem? Hahaha

É, realmente, parece bem difícil interpretar a questão. Mas vamos pensar juntos um pouco:

Primeiro, f pertence a S ? Vamos supor que sim, então ele é gerado por uma combinação linear da base de S . Logo:

f = t 2 + t + 1 = a t - 1 + b ( t 2 - 1 )

⇒ t 2 + t + 1 =   b t 2 + a t - a + b

Igualando cada coeficiente, teríamos:

b = 1 a = 1 a + b = - 1

Mas esse sistema é impossível, portanto, nossa suposição inicial é falsa. Daí, f não pertence a S .

Aaaah, então começou a clarear neh?!

O enunciado quer que g seja tal que d f , g < d ( f , h ) . O que isso quer dizer?

Basicamente, é que g deve ser o polinômio do subespaço S que possui a menor distância possível em relação a f .

Passo 2

Beleza, o negócio tá ficando bom!

O Ponto chave agora é identificar quem é o serumaninho que possui como principal característica ser o elemento de S que está na menor distância possível de f . Vocês lembram?

É justamente a projeção de f em S , P r o j S f . Logo,

g = p r o j S f = α ⋅ u 1 + β u 2

Lembrando que a base de S é [ t - 1 ,   t 2 - 1 ] . Para calcular a projeção, precisamos primeiro verificar se a base dada é ortogonal. Basta verificarmos o produto interno:

< t - 1 ,   t 2 - 1 >   = - 1 ⋅ - 1 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 3 = 4 ≠ 0

Como o produto interno é diferente de zero, essa base não é ortogonal.

Puts! Nesse caso, chamando u = t - 1 e v = t 2 - 1 ,   devemos resolver o seguinte sistema:

< u , u > α + < u , v > β =   < u , f > < v , u > α +   < v , v > β =   < v , f >

Massa, bora usar o produto interno definido nesse subespaço para calcular cada um desses termos:

< u , f >   = 1 ⋅ - 1 + 3 ⋅ 0 + 7 ⋅ 1 = 6

< u , u >   = - 1 ⋅ - 1 +   0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 = 2

< v , f >   = 1 ⋅ - 1 + 3 ⋅ 0 + 7 ⋅ 3 = 20

< v , v >   = - 1 ⋅ - 1 + 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 3 = 10

< u , v >   =   < v , u >   = - 1 ⋅ - 1 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 3 = 4  

Logo:

2 α + 4 β = 6 4 α + 10 β = 20

Daí temos α =   - 5 e β = 4 . Assim, podemos finalmente escrever que:

g =   - 5 ⋅ t - 1 + 4 ⋅ ( t 2 - 1 )

∴ g = 4 t 2 - 5 t + 1

Portanto, temos:

a = 4 ,   b = - 5 e c = 1

Assim:

a - b - c = 4 - - 5 - 1

a - b - c = 8

Prontinho! Mais uma finalizada. Já vamos aproveitar o embalo e ir pra próxima, até lá! 😉

Resposta

Letra E: 8 .

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