A3 T6 A1 T20
Seja um espaço vetorial com definido, mas não informado aqui. Seja uma base de . Se , e , então é base ortonormal em relação ao de ?
Passo 1
Se passarmos nossos vetores da base para a canônica, temos que:
Pela linearidade do produto interno podemos quebrar isso em:
E agora? Bom, se for ortogonal, temos que vale se ! Isso vai cortar um monte de termos da nossa igualdade aí em cima! Ficamos então com:
Mas o enunciado pergunta se ela é ortonormal! Então além de valer se , precisamos que seja igual a se ! Então ficamos com:
com certeza não é igual a , então não é ortonormal!
Resposta
não é ortonormal.
Exercícios de Livros Relacionados
6. Em cada parte, decida se o conjunto de matrizes dado é ortogonal em relação ao produto interno M 22 discutido no Exemplo 6 da Seção 6.1.(a) 1 0 0 0 , 0 2 3 1 3 - 2 3 , 0 2 3 - 2 3 1 3 ,0 1 3 2 3 2
7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
Consideremos a seguinte base do R 3 : B = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,1 ,( 0 ,1 ,2 ) Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Consideremos a seguinte base do R 2 : B = 3 ,4 ,1 ,2 Ortonormalizar essa base pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
O conjunto B = 1 2 , 1 2 ,- 1 2 , 1 2 é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v = ( 2 ,4 ) em relação à base B . Utilizar o processo apresentado em 3