Seja V um espaço vetorial com < , > definido, mas não informado aqui. Seja α = v 1 , v 2 , v 3 , v 4 uma base de V . Se u α = 1 1 1 1 , v α = 1 2 3 - 1 e u , v = 3 , então α é base ortonormal em relação ao < , > de V ?

Passo 1

Se passarmos nossos vetores da base α para a canônica, temos que:

u = v 1 + v 2 + v 3 + v 4

v = v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 - v 4

u , v = v 1 + v 2 + v 3 + v 4 , v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 - v 4 = 3

Pela linearidade do produto interno podemos quebrar isso em:

v 1 , v 1 + 2 v 1 , v 2 + 3 v 1 , v 3 - v 1 , v 4 + v 2 , v 1 + 2 v 2 , v 2 + 3 v 2 , v 3 - v 2 , v 4 + v 3 , v 1 + 2 v 3 , v 2 + 3 v 3 , v 3 - v 3 , v 4 + v 4 , v 1 + 2 v 4 , v 2 + 3 v 4 , v 3 - v 4 , v 4 = 3

E agora? Bom, se α for ortogonal, temos que v i , v j vale 0 se i ≠ j ! Isso vai cortar um monte de termos da nossa igualdade aí em cima! Ficamos então com:

v 1 , v 1 + 2 v 2 , v 2 + 3 v 3 , v 3 - v 4 , v 4 = 3

Mas o enunciado pergunta se ela é ortonormal! Então além de v i , v j valer 0 se i ≠ j , precisamos que v i , v j seja igual a 1 se i = j ! Então ficamos com:

1 + 2 + 3 - 1 = 3

5 = 3

5 com certeza não é igual a 3 , então α não é ortonormal!

Resposta

α não é ortonormal.

Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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