Seja um espaço vetorial com definido, mas não informado aqui. Seja uma base de . Se , e , então é base ortonormal em relação ao de ?
Passo 1
Se passarmos nossos vetores da base para a canônica, temos que:
Pela linearidade do produto interno podemos quebrar isso em:
E agora? Bom, se for ortogonal, temos que vale se ! Isso vai cortar um monte de termos da nossa igualdade aí em cima! Ficamos então com:
Mas o enunciado pergunta se ela é ortonormal! Então além de valer se , precisamos que seja igual a se ! Então ficamos com:
com certeza não é igual a , então não é ortonormal!
Resposta
não é ortonormal.