Dada a base β = 3,4 , 2,2 , ortonormal em relação a um certo produto interno, dê a fórmula desse produto interno.

DICA: Escreva ( x , y ) como combinação linear dos vetores da base β

Passo 1

Vamos usar a dica do enunciado?

A coisa é escrever um vetor x ,   y γ como combinação linear dos vetores de β , assim ó:

x , y = a 3,4 + b 2,2

Isso nos dá o sistema:

x = 3 a + 2 b y = 4 a + 2 b   ( I )

Multiplicando a segunda equação por ( - 1 ) e somando as duas equações, temos:

x - y = 3 a - 4 a + 2 b - 2 b

x - y = - a

a = - x + y   ( I I )

Agora, substituindo ( I I ) na equação de cima:

x = - 3 x + 3 y + 2 b

2 b = 4 x - 3 y

b = 2 x - 3 2 y   ( I I I )

Belezinha, escrevemos a e b em função de x e y certo?

Isso quer dizer que temos os vetores de β escritos na base γ , vamos ver como podemos usar isso ;)

Passo 2

Como temos os vetores de β escritos na base γ e estamos tratando de bases ortonormais, o produto interno de dois vetores ortogonais de β , é igual ao produto interno usual dos vetores com coordenadas na base γ .

Então, sendo x 1 , y 1 , x 2 , y 2 vetores da base β , o produto interno entre eles pode ser escrito como o produto interno usual deles escritos na base γ :

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 , y 1 γ , x 2 , y 2 γ u s u a l

Escrevendo os vetores na base γ :

  x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = - x 1 + y 1 , 2 x 1 - 3 2 y 1 , - x 2 + y 2 , 2 x 2 - 3 2 y 2 u s u a l

Calculando o produto interno usual:

                                                                          x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = ( - x 1 + y 1 ) ( - x 2 + y 2 ) + 2 x 1 - 3 2 y 1 2 x 2 - 3 2 y 2

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + y 1 y 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 1 y 2 - 3 x 2 y 1 + 9 4 y 1 y 2

Então, o produto interno que o enunciado pede é:

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = 5 x 1 x 2 - 4 x 1 y 2 - 4 x 2 y 1 + 13 4 y 1 y 2

Resposta

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = 5 x 1 x 2 - 4 x 1 y 2 - 4 x 2 y 1 + 13 4 y 1 y 2

Exercícios Resolvidos de Bases Ortogonais e Ortonormais

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