Dada a base , ortonormal em relação a um certo produto interno, dê a fórmula desse produto interno.
DICA: Escreva como combinação linear dos vetores da base
Passo 1
Vamos usar a dica do enunciado?
A coisa é escrever um vetor como combinação linear dos vetores de , assim ó:
Isso nos dá o sistema:
Multiplicando a segunda equação por e somando as duas equações, temos:
Agora, substituindo na equação de cima:
Belezinha, escrevemos e em função de e certo?
Isso quer dizer que temos os vetores de escritos na base , vamos ver como podemos usar isso ;)
Passo 2
Como temos os vetores de escritos na base e estamos tratando de bases ortonormais, o produto interno de dois vetores ortogonais de , é igual ao produto interno usual dos vetores com coordenadas na base .
Então, sendo vetores da base , o produto interno entre eles pode ser escrito como o produto interno usual deles escritos na base :
Escrevendo os vetores na base :
Calculando o produto interno usual:
Então, o produto interno que o enunciado pede é: