Uma matriz é chamada de permutação se em cada linha e em cada coluna há um único e as demais entradas são zeros. Afirma-se:
- Se é uma matriz de permutação, então .
- Se , então é uma matriz de permutação.
I e II são verdadeiras
I é falsa e II é verdadeira
I é verdadeira e II é falsa
I e II são falsas
Passo 1
Afirmativa I:
A afirmativa diz que se a matriz é de permutação então . Mas o que te lembra a inversa da matriz ser igual a transposta??
OBS: Estamos assumindo aqui que as matrizes são quadradas e invertíveis, se não o exercício não faz sentido.
As matrizes que tem essa característica são as matrizes ortogonais!!! Mas pera o que mais elas tem de especial??
Que os seus vetores coluna assim como seus vetores linha são vetores ortonormais!
E a matriz permutação, como é dito no enunciado, possui apenas um único em cada linha e em cada coluna, ou seja, seus vetores são ortonormais.
Logo a inversa será sempre igual à transposta e, portanto, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 2
Afirmativa II:
Entretanto, o contrário não é tão verdade assim. Vamos pegar um contra exemplo, pois basta mostrar um caso falso para destruir a afirmação.
Podemos construir matrizes ortogonais sem usar os vetores da base canônica, olha só, vamos usar o como exemplo:
Repare que os vetores são ortogonais já que:
E também são normais:
E mesmo assim não formam uma matriz permutação :\
Resposta
Letra